eMatematikas.lt
Pradžia Forumai + Nauja tema Nariai
Įrankiai
Formulės Testai Egzaminai
Prisijungti Registruotis
       

Kompleksinių skaičių kėlimas laipsniu

Klausimas - ką daryti su laipsniais:
Jeigu reikia surasti skaičiaus [tex]\left ( a+ib \right )^{75}[/tex] rodiklinę formą, tai galima daryti taip:
Pirmiau randame skaičiaus [tex]a+ib[/tex] rodiklinę formą. Tada skaičiaus [tex]\left ( a+ib \right )^{75}[/tex] rodiklinę formą rasime, kai 75-tuoju laipsniu pakelsime skaičius  [tex]a+ib[/tex] rodiklinę formą.


Rodiklinę formą pakelti kokiu nors laipsniu labai lengva. Būtent dėl šios priežasties verta kompleksinį skaičių užrašyti rodikline forma, nes reiškinį [tex]a+ib[/tex] pakelti bet kokiu laipsniu gali būti labai sunku.
Pavyzdžiui jeigu rodiklis būtų natūralusis skaičius (tarkime 1000) tai reikia atskliausti reiškinį [tex]\left ( a+ib \right )^{1000}[/tex] sutraukti panašius narius, tai užims daug laiko, tačiau įmanoma ir gausime algebrinę išraišką.

Jeigu rodiklis būtų lygus [tex]\ln 3[/tex], tada reikėtų atskliausti reiškinį [tex]\left ( a+ib \right )^{\ln 3}[/tex]. Gauti algebrinę išraišką daug sunkiau, nei atveju kai rodiklis lygus 1000.

Jeigu rodiklis lygus kompleksiniam skaičiui, tarkime, [tex]7,5+i[/tex], tai gauti skaičiaus [tex]\left ( a+ib \right )^{7,5+i}[/tex]  algebrinę formą gali pasirodyti dar sunkiau.

Tačiau visus išvardytus atvejus galima padaryti labai lengvai, jeigu skaičių [tex]a+ib[/tex] parašome rodikline forma. Nes rodiklinė skaičiaus forma yra išreikšta per sandaugą, o sandaugą kelti bet kokiu laipsniu yra daug lengviau, negu dviejų nepanašiųjų narių sumą.

Rodiklinę formą pakėlus laipsniu, perrašome ją trigonometriniu pavidalu, o iš trigonometrinio pavidalo nesunkiai gauname algebrinį pavidalą. To šiame uždavinyje reikės.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-11-05

0

gavosi, bet sprendžiau trigonometriniu pavidalu daug darbo, bet kažkaip labiau suprantama nei  rodiklinė. atsakymas -32, minusą aš pačioj pradžioj išsikėliau, tik nežinau ar tai leistina

0

Jei [tex]z=1-i[/tex],tai [tex]\left | z \right |=\sqrt{1^2+\left ( -1 \right )^2}=\sqrt{2}[/tex], o [tex]\phi = \frac{7\pi}{4}[/tex], todėl [tex]z=\left | z \right |\mathrm{e}^{i \phi}=\sqrt{2} \mathrm{e}^{i\frac{7\pi}{4}}[/tex].
Tada [tex]\left ( 1-i \right )^{20}=\left ( \sqrt{2} \mathrm{e}^{i\frac{7\pi}{4}} \right )^{20}=2^{10}\mathrm{e}^{i35 \pi}[/tex].
Analogiškai skaičiuodami gautume, kad [tex]\left ( -1-i \sqrt{3} \right )^{15}=\left (2 \mathrm{e}^{i \frac{4 \pi}{3}} \right )^{15}=2^{15}\mathrm{e}^{i20 \pi}[/tex].
Tada
$$\frac{\left ( -1-\sqrt{3}i \right )^{15}}{\left ( 1-i \right )^{10}}=\frac{2^{15}\mathrm{e}^{i35 \pi}}{2^{10}\mathrm{e}^{i 20 \pi}}=32\mathrm{e}^{i35 \pi- i20 \pi}=32\mathrm{e}^{i15 \pi}=\\ 32\left ( \cos15\pi +i \sin 15\pi \right )=32\left ( -1+i0 \right )=-32$$

Tai tokia buvo mano pasiūlyta idėja uždaviniui išspręsti.





Paskutinį kartą atnaujinta 2018-11-05

0

Ačiū labai už pagalbą! :)

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!