Logaritminių nelygybių sprendimas

Praėjusioje pamokoje nagrinėjome logaritmines lygtis (šią pamoką galite rasti čia: http://www.ematematikas.lt/forumas/logaritminiu-lygciu-sprendimas-t11958.html). Šioje pamokoje nagrinėsime logaritmines nelygybes:

Logaritminėmis nelygybėmis vadiname tokias nelygybes, kuriose nežinomasis [tex]x[/tex] yra tik po logaritmo ženklu.

Tokių nelygybių pavyzdžiai:
[tex]\log_2(2x-1)<3[/tex]
[tex]\log_{0,5}^2x+\log_{0,5}x-2≤0[/tex]

Prieš sprendžiant nelygybes reiktų žinoti svarbią taisyklę:

Duota logaritminė nelygybė [tex]\log_aR_{1}(x)\Box\log_aR_{2}(x)[/tex] (čia [tex]\Box[/tex] žymi vieną kurį nors iš ženklų <,>,≤,≥, o [tex]R_{1}(x),R_{2}(x)[/tex]-reiškiniai su kintamuoju [tex]x[/tex]). Tuomet, kai [tex]a>0,a≠1[/tex] ir [tex]R_{1}(x)>0,
R_{2}(x)>0[/tex], ši nelygybė ekvivalenti nelygybei [tex]R_{1}(x)\Box R_{2}(x)[/tex], o nelygybės ženklas:
1) apverčiamas, jei [tex]0<a<1[/tex] (t.y. (jei buvo <, tai bus >), (jei buvo >, tai bus <), (jei buvo ≤, tai bus ≥), (jei buvo ≥, bus ≤))
2) paliekamas toks pat,jei [tex]a>1[/tex]

Sprendžiant logaritmines nelygybes svarbu žinoti logaritmų savybes (jas galite rasti temoje apie logaritmines lygtis).
Svarbu žinoti ir pagrindinę logaritmų tapatybę:

[tex]\log_aa^b=b[/tex], kai [tex]a>0,a≠1,b∈R[/tex]

Ji leidžia bet kokį skaičių užrašyti logaritmu (logaritmo pagrindą galime rinktis laisvai, tik jei jis teigiamas ir nelygus 1), pavyzdžiui:
[tex]3=\log_22^3[/tex]  ar  [tex]\frac{1}{5}=\log_ee^{\frac{1}{5}}=\ln e^{\frac{1}{5}}[/tex]

1 tipo logaritminės nelygybės (paprasčiausios nelygybės, logaritmo pagrindas yra žinomas skaičius)

Šio tipo lygtys yra:
1) [tex]\log_3(1-2x)<2[/tex]
2) [tex]\log_{0,5}(x^2+6x+9)≥0[/tex]
3) [tex]\lg(x+3)≤\lg(27-x)+\lg5-1[/tex]

Sprendžiant logaritmines nelybes būtina nusistatyti apibrėžimo sritį:

1) Pirmos nelygybės apibrėžimo sritis: [tex]1-2x>0\implies x<\dfrac{1}{2}[/tex]
Dešiniąją nelygybės pusę užrašome logaritmu, kurio pagrindas 3:
[tex]\log_3(1-2x)<\log_39[/tex]
Kadangi logaritmų pagrindai yra lygūs ir didesni už 1, tai ši nelygybė ekvivalenti nelygybei:
[tex]1-2x<9\implies x>-4[/tex]
Tuomet duotosios nelygybės sprendinių aibei priklausys šios sistemos sprendiniai:
[tex]\begin{cases} x<\dfrac{1}{2} \\ x>-4 \end{cases}\implies x∈(-4;\dfrac{1}{2})[/tex]
Ats.: [tex](-4;\dfrac{1}{2})[/tex]

2) Antros nelygybės apibrėžimo sritis: [tex]x^2+6x+9>0\implies (x+3)^2>0\implies x≠-3[/tex]
Dešiniąją nelygybės pusę užrašome logaritmu, kurio pagrindas 0,5:
[tex]\log_{0,5}(x^2+6x+9)≥\log_{0,5}1[/tex]
Kadangi logaritmų pagrindai yra lygūs ir mažesni  už 1, tai ši nelygybė ekvivalenti nelygybei:
[tex]x^2+6x+9≤1\implies x^2+6x+8≤0\implies (x-2)(x-4)≤0\implies x∈[2;4][/tex]
Tuomet duotosios nelygybės sprendinių aibei priklausys šios sistemos sprendiniai:
[tex]\begin{cases} (x+3)^2>0 \\ (x-2)(x-4)≤0 \end{cases}\implies x∈[2;3)∪(3;4][/tex]
Ats.: [tex][2;3)∪(3;4][/tex]

3) Trečios nelygybės apibrėžimo sritis:[tex]\begin{cases} x+3>0 \\ 27-x>0 \end{cases}\implies \begin{cases} x>-3 \\ x<27 \end{cases}\implies x∈(-3;27)[/tex]
Dešiniąją nelygybės pusę pertvarkome taikydami logaritmų sumos ir skirtumo savybes:
[tex]\lg(x+3)≤\lg(27-x)+\lg5-\lg10\implies \lg(x+3)≤\lg\frac{5(27-x)}{10}\implies \lg(x+3)≤\lg\frac{(27-x)}{2}[/tex]
Kadangi [tex]10>1[/tex], tai ši nelygybė ekvivalenti nelygybei:
[tex]x+3≤\frac{(27-x)}{2}\implies 3x≤21\implies x≤7[/tex]
Tuomet duotosios nelygybės sprendinių aibei priklausys šios sistemos sprendiniai:
[tex]\begin{cases} x>-3 \\ x<27\\ x≤7\end{cases}\implies x∈(-3;7][/tex]
Ats.: [tex](-3;7][/tex]

2 tipo logaritminės nelygybės (logaritmo pagrinde yra nežinomasis)

Šio tipo lygtys yra:
1) [tex]\log_{x-1}5<0[/tex]
2) [tex]\log_{x}2>1[/tex]
3) [tex]\log_{x+1}(x+3)<2[/tex]

Sprendžiant šio tipo logaritmines nelygybes reikia nagrinėti du atvejus:
a) kai logaritmo pagrindas yra tarp 0 ir 1;
b) kai logaritmo pagrindas yra didesnis už 1;

1) [tex]\log_{x-1}5<\log_{x-1}1[/tex]
Kadangi [tex]5>1[/tex] (nesutampa su nelygybės ženklu) vadinasi [tex]0<x-1<1[/tex] (kai logaritmo pagrindas yra tarp 0 ir 1 apverčiamas nelygybės ženklas).
Vadinasi nelygybė teisinga, kai [tex]1<x<2\implies x∈(1;2)[/tex].
Ats.: [tex](1;2)[/tex]

2) [tex]\log_{x}2>\log_xx[/tex]
Nagrinėjame du atvejus:
a) kai [tex]0<x<1[/tex], tai: [tex]2<x \implies\begin{cases} 0<x<1 \\ 2<x \end{cases}\implies x∈∅[/tex]; (kai logaritmo pagrindas yra tarp 0 ir 1 apverčiamas nelygybės ženklas).
b) kai [tex]x>1[/tex], tai: [tex]2>x\implies \begin{cases} x>1 \\ 2>x \end{cases}\implies x∈(1;2)[/tex]. (kai logaritmo pagrindas yra didesnis už 1 nelygybės ženklas lieka tas pats).
Ats.: [tex](1;2)[/tex]

3) [tex]\log_{x+1}(x+3)<\log_{x+1}(x+1)^{2}[/tex]
Nagrinėjame du atvejus:
a) kai [tex]\begin{cases} 0<x+1<1 \\ x+3>0 \end{cases}[/tex], tai
[tex]x+3>(x+1)^2\implies \begin{cases} 0<x+1<1 \\ x+3>0 \\x+3>(x+1)^2\end{cases}\implies \begin{cases} -1<x<0 \\ x>-3 \\x^2+x-2<0\end{cases}\implies \begin{cases} -1<x<0 \\ x>-3 \\-2<x<1\end{cases}\implies\\ x∈(-1;0);[/tex]

b) kai [tex]\begin{cases} x+1>1 \\ x+3>0 \end{cases}[/tex], tai [tex]x+3<(x+1)^2\implies \begin{cases} x+1>1 \\ x+3>0 \\x+3<(x+1)^2\end{cases}\implies \begin{cases} x>0 \\ x>-3 \\x^2+x-2>0\end{cases}\implies\\ \begin{cases} x>0 \\ x>-3 \\x∈(-∞;-2)∪(1;+∞)\end{cases}\implies x∈(1;+∞);[/tex]
Taigi nelygybės atsakymas: [tex]x∈(-1;0)∪(1;+∞)[/tex]
Ats.: [tex](-1;0)∪(1;+∞)[/tex]

3 tipo logaritminės nelygybės (keitinys)

Šio tipo lygtys yra:
1) [tex]\log_{2}^2x-\log_2x≤6[/tex]
2) [tex]\log_{\frac{1}{3}}^29x+\log_{3}\frac{9}{x^2}≤9[/tex]

Sprendžiant šio tipo logaritmines nelygybes reikia įsivesti keitinį ir spręsti susidariusią nelygybę naujo kintamojo atžvilgiu:

1) Nelygybės apibrėžimo sritis: [tex]x>0[/tex].
Pastebime, jog galime įsivesti keitinį [tex]t=\log_2x[/tex] (keitiniui jokių apipribojimų netaikome).
Gauname nelygybę:
[tex]t^2-t-6≤0\implies (t+2)(t-3)≤0\implies -2≤t≤3[/tex]
Grįžtame prie keitinio, gauname nelygybę:
[tex]-2≤\log_2x≤3[/tex], ją galime užrašyti sistema:
[tex]\begin{cases} \log_2x≥-2 \\ \log_2x≤3 \end{cases}\implies \begin{cases} \log_2x≥\log_2\frac{1}{4} \\ \log_2x≤\log_28 \end{cases}[/tex]
Kadangi [tex]2>1[/tex], tai nelygybės ženklas nekeičiamas:
[tex]\begin{cases} x≥\frac{1}{4} \\ x≤8 \end{cases}\implies x∈[\frac{1}{4};8][/tex]. Suderinus su nelygybės apibrėžimo sritimi sprendinių intervalas lieka tas pats.
Ats.: [tex][\frac{1}{4};8][/tex]

2) Nelygybės apibrėžimo sritis [tex]x>0[/tex]
Pertvarkome nelygybę:
[tex](\log_{\frac{1}{3}}9+\log_{\frac{1}{3}}x)^2+\log_39-\log_3x^2≤9[/tex]
[tex](\log_{3}9^{-1}+\log_{3}x^{-1})^2-\log_3x^2≤7[/tex]
[tex](2+\log_{3}x)^2-2\log_3x≤7[/tex]
[tex]4+4\log_{3}x+\log_{3}^2x-2\log_3x≤7[/tex]
[tex]\log_{3}^2x+2\log_{3}x-3≤0[/tex]
Taikome keitinį:
[tex]t=\log_{3}x[/tex]
Gauname nelygybę:
[tex]t^2+2t-3≤0\implies (t-1)(t+3)≤0\implies -3≤t≤1[/tex]
Grįžtame prie keitinio:
[tex]-3≤\log_{3}x≤1[/tex].
Ją išsprendžiame:
[tex]\begin{cases} \log_{3}x≥-3 \\ \log_{3}x≤1 \end{cases}\implies \begin{cases} \log_{3}x≥\log_{3}\frac{1}{27} \\ \log_{3}x≤\log_{3}3 \end{cases}\implies \begin{cases} x≥\frac{1}{27} \\ x≤3\end{cases}[/tex]
Suderinus su nelygybės apibrėžimo sritimi gauname atsakymą: [tex]x∈[\frac{1}{27};3][/tex]
Ats.: [tex][\frac{1}{27};3][/tex]