Rodiklinių lygčių sprendimas

Šioje pamokoje mokysimės spręsti rodiklines lygtis.

Rodiklinėmis lygtimis, vadiname tokias lygtis, kuriose tų lygčių nežinomasis [tex]x[/tex] yra tik laipsnių rodikliuose, o tų laipsnių pagrindai yra teigiami nelygūs 1 skaičiai.

Tokių lygčių pavyzdžiai yra:
[tex]4^x=16[/tex];   
[tex]5^{x+1}+5^{x-1}=24[/tex];       
[tex]4^x+2^{x+1}-24=0[/tex];
[tex]9^x+6^{x}=2\cdot 4^x[/tex]

Visos šios lygtys vaizduoja 4 galimus rodiklinių lygčių tipus. Iš šių visų tipų svarbiausia žinoma yra pati pirmoji, kadangi praktiškai visų rodiklinių lygčių sprendimas nepaisant jos tipo susiveda prie būtent pirmo tipo rodiklinių lygčių sprendimo.

Žinoma, nereiktų apsigauti ir manant, jog sprendžiant rodiklines lygtis negalime sutikti ir kitokio tos lygties pavidalo. Panaši analogija galioja ir kvadratinei lygčiai, juk lygtį:
[tex]x^2+5x-6=0[/tex]  galima pateikti ir taip: [tex]x^2-x=6(1-x)[/tex].

Sprendžiant rodiklines lygtis svarbu žinoti laipsnių savybes:

[tex]a^m\cdot a^n=a^{m+n}[/tex]
[tex]\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}[/tex]
[tex](a^m)^n=a^{mn}[/tex]
[tex]a^n\cdot b^n=(ab)^{n}[/tex]
[tex]\dfrac{a^n}{b^n}=(\dfrac{a}{b})^{n}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}[/tex]

Toliau pamėginsime panagrinėti kiekvieną iš lygčių tipų pateikiant keletą jų sprendimo pavyzdžių:

1 tipo rodiklinės lygtys ( laipsnių pagrindų vienodinimas)Panagrinėsime tokias rodiklines lygtis:
1) [tex]9^{-3x}=(\frac{1}{27})^{x+3}[/tex]
2) [tex]\sqrt{3^x}\cdot \sqrt{5^x}=225[/tex]
3) [tex]7^x=-2[/tex]
4) [tex](\frac{1}{16}\cdot 8^x)^x=2^{5x-6}[/tex]

1) Pirmoje lygtyje turime du laipsnius, kurių pagrindai yra skirtingi, t.y. [tex]9[/tex] ir [tex]\frac{1}{27}[/tex]. Pamėginkime šiuos skaičius užrašyti laipsniu, kurio pagrindas būtų toks pat. Paprasta įžvelgti, jog tai yra skaičius [tex]3[/tex], tuomet:
[tex]9=3^2[/tex]  ir [tex]\frac{1}{27}=3^{-3}[/tex]
Gauname lygtį:
[tex](3^2)^{-3x}=(3^{-3})^{x+3}[/tex]
Pagal trečią laipsnių savybę gauname, kad:
[tex]3^{-6x}=3^{-3(x+3)}[/tex]
Dabar taikome taisyklę, jog:

Jei dviejų laipsnių pagrindai yra teigiami ir lygūs, tai turi būti lygūs ir tų laipsnių rodikliai

Remiantis tuo, gauname lygtį:
[tex]-6x=-3(x+3)[/tex]
Jos, o kartu ir duotosios rodiklinės lygties sprendinys: [tex]x=3[/tex]
Ats.: [tex]3[/tex]

2) Dabar pirmiausiai pritaikome šaknų savybę: [tex]\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}[/tex], tiesa, kadangi [tex]\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}[/tex], tai tas pats, kas taikyti laipsnių pirmą savybę:
[tex]\sqrt{3^x}\cdot \sqrt{5^x}=\sqrt{3^x\cdot 5^x}=\sqrt{(3\cdot 5)^x}=\sqrt{15^x}=({15^x})^{\frac{1}{2}}=15^{\frac{1}{2}x}[/tex]
Gauname lygtį:
[tex]15^{\frac{1}{2}x}=225[/tex]
Suvienodiname laipsnių pagrindus:
[tex]15^{\frac{1}{2}x}=15^2[/tex]
Pritaikę taisyklę, sulyginame vienodų pagrindų laipsnių rodiklius:
[tex]\frac{1}{2}x=2\implies x=4[/tex]
Ats.: [tex]4[/tex]

3) Ši lygtis ypatinga, kadangi ji neturi sprendinių. Taip yra dėl to, jog reiškinys [tex]7^x[/tex] visada įgyja teigiamas reikšmes, todėl su jokia [tex]x[/tex] reikšme [tex]7^x[/tex] nebus lygu -2.
Ats.: ∅

4) Spręndžiant šią lygtį suvienodinami laipsnių pagrindai privedant juos prie skaičiaus 2, tada:
[tex]\frac{1}{16}=2^{-4}[/tex];  [tex]8=2^{3}[/tex]. Gauname lygtį:
[tex](2^{-4}\cdot (2^3)^x)^x=2^{5x-6}[/tex]
Toliau taikydami laipsnių savybes, gauname:
[tex](2^{-4}\cdot 2^{3x})^x=2^{5x-6}\implies (2^{-4+3x})^x=2^{5x-6}\implies 2^{-4x+3x^2}=2^{5x-6}[/tex]
Sulyginame laipsnių rodiklius:
[tex]-4x+3x^2=5x-6\implies 3x^2-9x+6=0\implies x_1=1, [/tex]  [tex]x=2[/tex]
Ats.: [tex]1[/tex]; [tex]2[/tex]

2 tipo rodiklinės lygtys (bendrojo daugiklio iškėlimas prieš skliaustus)

Panagrinėsime tokias lygtis:
1) [tex]2^{x+3}-2^x=112[/tex]
2) [tex]3^{2x+2}+3^{2x}=30[/tex]
3) [tex]3\cdot 7^{x+1}+7^{x+2}-30\cdot 7^x=120[/tex]

1)  Matome, jog [tex]2^{x+3}=2^x\cdot 2^3=8\cdot 2^x[/tex], vadinasi [tex]2^x[/tex] keliame prieš skliaustus:
[tex]8\cdot 2^x-2^x=112\implies 2^x(8-1)=112\implies 7\cdot 2^x=112|:7\implies 2^x=16[/tex]
Gavome pirmojo tipo lygtį:
[tex]2^x=2^4\implies x=4[/tex]
Ats.: [tex]4[/tex]

2)  Matome, jog [tex]3^{2x+2}=3^{2x}\cdot 3^2=9\cdot 3^{2x}[/tex], vadinasi [tex]3^{2x}[/tex] keliame prieš skliaustus:
[tex]3^{2x}\cdot 3^2+3^{2x}=30\implies 3^{2x}(9+1)=30\implies 10\cdot 3^{2x}=30|:10\implies 3^{2x}=3[/tex]
Gavome pirmojo tipo lygtį:
[tex]3^{2x}=3^1\implies 2x=1\implies x=0,5[/tex]
Ats.: [tex]0,5[/tex]

3)  Matome, jog [tex]7^{x+1}=7^{x}\cdot 7[/tex],  [tex]7^{x+2}=7^{x}\cdot 7^2[/tex], vadinasi [tex]7^{x}[/tex] keliame prieš skliaustus:
[tex]3\cdot 7\cdot  7^x+7^2\cdot 7^x-30\cdot 7^x=120\implies 7^{x}(21+49-30)=120\implies 40\cdot 7^{x}=120|:40\implies\\ 7^{x}=3[/tex]
Gavome pirmojo tipo lygtį (pastaba: suvienodindami pagrindus taikome pagrindinę logaritmų tapatybę [tex]a^{\log_ab}=b[/tex]):
[tex]7^{x}=7^{\log_73}\implies x=\log_73[/tex]
Ats.: [tex]\log_73[/tex]

3 tipo rodiklinės lygtys (kintamojo pakeitimas)

Panagrinėsime tokias lygtis:
1) [tex]3^{x+1}+18\cdot 3^{-x}=29[/tex]
2) [tex]5^{2x-1}+5^{x+1}=250[/tex]

1) Sprendžiant rodiklines lygtis šiuo būdu reikia pamėginti įsivesti keitinį taip, jog lygtis taptų neberodikline, o tarkime kvadratinė ar kt.
Persitvarkę šią lygtį taip:
[tex]3\cdot 3^x+18\cdot \frac{1}{3^x}=29[/tex]
Matome, jog mums tinka keitinys [tex]t=3^x[/tex]. Būtinai prirašome, jog [tex]t>0[/tex], nes rodiklinė funkcija gali įgyti tik teigiamas reikšmes, tada mūsų lygtis yra:
[tex]3t+18\cdot \frac{1}{t}=29[/tex]
Pasitikriname, ar keitinį įsivedėme teisingai, t.y. ar lygtyje neliko [tex]x[/tex]-ų. Tuomet sprendžiame šią naują lygtį:
[tex]3t+18\cdot \frac{1}{t}=29|\cdot t≠0\implies 3t^2-29t+18=0\implies D=25^2;[/tex]
[tex]t_1=\dfrac{29-25}{6}=\dfrac{2}{3}[/tex];            [tex]t_2=\dfrac{29+25}{6}=9[/tex]
Šiuo atveju tinka abi [tex]t[/tex] reikšmės, nes abi jos teigiamos. Bet čia lygties sprendimas nesibaigia. Grįžtame prie keitinio. Dabar turėsime išspręsti tiek pirmo tipo lygčių, kiek gavome [tex]t[/tex], tenkinančių sąlygą [tex]t>0[/tex], reikšmių:
[tex]3^x=\dfrac{2}{3}\implies x=\log_3(\frac{2}{3})=\log_32-1[/tex];
[tex]3^x=9\implies x=2[/tex];
Ats.: [tex]\log_32-1[/tex];  [tex]2[/tex]

2) Dabar vėl reikia pamėginti pertvarkyti lygtį taip, jog galėtume įsivesti naują kintamąjį:
[tex]\dfrac{5^{2x}}{5}+5\cdot 5^x=250\implies \dfrac{(5^{x})^2}{5}+5\cdot 5^x=250[/tex]
Keitinys: [tex]t=5^x[/tex], [tex]t>0[/tex]. Gauname lygtį:
[tex]\dfrac{t^2}{5}+5\cdot t=250|\cdot 5\implies t^2+25t-1250=0[/tex];
[tex]t_1=-50[/tex] (netinka)          [tex]t_2=25[/tex]
Grįžtame prie keitinio:
[tex]5^x=25\implies x=2[/tex]
Ats.: [tex]2[/tex]

4 tipo rodiklinės lygtys (dalyba iš laipsnio)

Panagrinėsime vieną lygtį:
[tex]4^x+6^x=2\cdot 9^x[/tex]

Rodiklines lygtis spręsti šiuo būdu reikia, tada kai netinka nė vienas kitas iš trijų būdų. Šioje lygtyje turime tris laipsnius:
[tex]4^x[/tex],  [tex]6^x[/tex]  ir  [tex]9^x[/tex]. Duotą lygtį turime padalinti iš vieno iš šių trijų laipsnių pasirinktinai.
Dalinkime iš [tex]4^x[/tex], tada gauname:
[tex]4^x+6^x=2\cdot 9^x|:4^x\implies 1+\dfrac{6^x}{4^x}=2\cdot \dfrac{9^x}{4^x}[/tex]
Toliau visada taikome penktą laipsnių savybę:
[tex]1+(\dfrac{6}{4})^x=2\cdot (\dfrac{9}{4})^x[/tex]
Tada vienodiname laipsnių pagrindus. Tai darome prastindami trupmeną ar užrašydami ją naujo pagrindo laipsniu, t.y.:
[tex]\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}[/tex]  ir [tex]\dfrac{9}{4}=(\dfrac{3}{2})^2[/tex]
Taigi gauname lygtį:
[tex]1+(\dfrac{3}{2})^x=2\cdot ((\dfrac{3}{2})^{2})^x\implies 1+(\dfrac{3}{2})^x=2\cdot ((\dfrac{3}{2})^{x})^2[/tex]
Tuomet gauname trečio tipo rodikinę lygtį. Taikome keitinį: [tex]t=(\dfrac{3}{2})^{x}[/tex],  [tex]t>0[/tex]
Gauname lygtį:
[tex]1+t=2t^2\implies 2t^2-t-1=0[/tex];
[tex]t=1[/tex];      [tex]t=-\frac{1}{2}[/tex] (netinka)
Grįžtame prie keitinio:
[tex](\dfrac{3}{2})^{x}=1\implies (\dfrac{3}{2})^{x}=(\dfrac{3}{2})^{0}\implies x=0[/tex]
Ats.: [tex]x=0[/tex]

Tikiuosi šie pavyzdžiai jums bus naudingi :)