Rodiklinių nelygybių sprendimas

Praėjusioje pamokoje nagrinėjome rodiklines lygtis (šią pamoką galite rasti čia: http://www.ematematikas.lt/forumas/rodikliniu-lygciu-sprendimas-t11953.html). Dabar panagrinėsime rodiklines nelygybes. Jų sprendimas yra panašus į rodiklinių lygčių sprendimą. Taigi jei išmokote gerai spręsti rodiklines lygtis su nelygybėmis nebus didelių problemų.

Rodiklinėmis nelygybėmis, vadiname tokias nelygybes, kuriose jų nežinomasis [tex]x[/tex] yra tik laipsnių rodikliuose, o tų laipsnių pagrindai yra teigiami nelygūs 1 skaičiai.

Tokių nelygybių pavyzdžiai:
[tex]4^x<16[/tex]
[tex]5^{x+1}+5^{x-1}≥24[/tex]
[tex]4^x+2^{x+1}-24>0[/tex]
[tex]9^x+6^{x}≤2\cdot 4^x[/tex]

Sprendžiant nelygybes pravartu žinoti laipsnių savybes (jas galite rasti temoje apie rodiklines lygtis). Lygiai taip pat kaip ir lygtis, nelygybes galima suskirstyti į 4 tuos pačius tipus. Kiekvieną jų panagrinėsime pasitelkdami pavyzdžius. Prieš sprendžiant šias nelygybes norėčiau pateikti tokią svarbią taisyklę:

Duota rodiklinė nelygybė: [tex]a^{R_1(x)}\Box a^{R_2(x)}[/tex] (čia [tex]\Box[/tex] žymi vieną kurį nors iš ženklų <,>,≤,≥, o [tex]R_1(x),R_2(x)[/tex]- reiškiniai su kintamuoju [tex]x[/tex]). Tuomet ši nelygybė ekvivalenti nelygybei [tex]R_1(x)\Box R_2(x)[/tex], o nelygybės ženklas:
1) apverčiamas, jei [tex]0<a<1[/tex] (t.y. (jei buvo <, tai bus >), (jei buvo >, tai bus <), (jei buvo ≤, tai bus ≥), (jei buvo ≥, bus ≤))
2) paliekamas toks pat, jei [tex]a>1[/tex]

1 tipo rodiklinės nelygybės (laipsnių pagrindų vienodinimas)

Panagrinėsime tokias rodiklines nelygybes:
1) [tex](\frac{1}{6})^{\frac{2x}{25}}<\sqrt[5]{6}[/tex]
2) [tex]32^{4-3x}≥\frac{8}{0,25\sqrt{2}}[/tex]
3) [tex](\dfrac{1}{3})^{\frac{4x+3}{1-2x}}>9[/tex]
4) [tex]0,125\cdot 4^{2x-1}≥(\frac{\sqrt{2}}{8})^{-x}[/tex]

1) Pirmą nelygybę galima perrašyti taip:
[tex](\frac{1}{6})^{\frac{2x}{25}}<6^{\frac{1}{5}}[/tex]
Suvienodinę pagrindus, gauname:
[tex](\frac{1}{6})^{\frac{2x}{25}}<(\frac{1}{6})^{-\frac{1}{5}}[/tex]
Kadangi pagrindas [tex]0<\frac{1}{6}<1[/tex], tai nelygybės ženklas apverčiamas:
[tex]\frac{2x}{25}>-\frac{1}{5}|\cdot \frac{25}{2}[/tex]
[tex]x>-\frac{5}{2}\implies x∈(-2,5;+∞)[/tex]
Ats.: [tex](-2,5;+∞)[/tex]

2) Pertvarkome antros nelgybės dešiniąją pusę (veskime prie laipsnio pagrindu 2):
[tex]\frac{8}{0,25\sqrt{2}}=\frac{32}{\sqrt{2}}=2^{5-\frac{1}{2}}=2^{\frac{9}{2}}[/tex]
Tuomet nelygybė atrodo taip:
[tex](2^5)^{4-3x}≥2^{\frac{9}{2}}[/tex]
Kadangi pagrindas [tex]2>1[/tex], tai nelygybės ženklas paliekamas toks pat:
[tex]5(4-3x)≥\frac{9}{2}|:5[/tex]
[tex]4-3x≥\frac{9}{10}[/tex]
[tex]-3x≥-\frac{31}{10}|:(-3)[/tex]  (kai nelygybę dauginame ar dalijame iš neigiamo skaičiaus, tai nelygybės ženklas apverčiamas):
[tex]x≤-\frac{31}{30}\implies x∈(-∞;-\frac{31}{30}][/tex]
Ats.: [tex](-∞;-\frac{31}{30}][/tex]

3) Suvienodiname laipsnių pagrindus:
[tex](\frac{1}{3})^{\frac{4x+3}{1-2x}}>(\frac{1}{3})^{-2}[/tex]
Kadangi pagrindas [tex]\frac{1}{3}<1[/tex], tai nelygybės ženklas apverčiamas:
[tex]\frac{4x+3}{1-2x}<-2[/tex]
Petvarkę šią nelygybę gauname:
[tex]\frac{1}{1-2x}<0[/tex]
Kai trupmenos skaitiklis teigiamas, tai trupmena bus neigiama, kai vardiklis bus neigiamas, vadinasi:
[tex]1-2x<0\implies -2x<-1|:(-2)\implies x>\frac{1}{2}\implies x∈(\frac{1}{2};+∞)[/tex]
Ats.: [tex](\frac{1}{2};+∞)[/tex]

4) Dauginamuosius vedame prie laipsnio pagrindu 2:
[tex]2^{-3}\cdot (2^2)^{2x-1}≥(2^{-\frac{5}{2}})^{-x}[/tex]
Atliekame veiksmus su laipsniais ir gauname:
[tex]2^{-3+4x-2}≥2^{\frac{5}{2}x}[/tex]
Kadangi pagrindas [tex]2>1[/tex], tai nelygybės ženklas lieka tas pats:
[tex]4x-5≥\frac{5}{2}x\implies 1,5x≥5|:1,5\implies x≥\frac{10}{3}\implies x∈[\frac{10}{3};∞)[/tex]
Ats.: [tex][\frac{10}{3};∞)[/tex]

2 tipo rodiklinės nelygybės (bendrojo daugiklio iškėlimas prieš skliaustus)

Panagrinėsime tokias rodiklines nelygybes:
1) [tex]7^x-7^{x-1}<6[/tex]
2) [tex]3\cdot 2^{\sqrt{x}}+2^{\sqrt{x}-1}≤14[/tex]
3) [tex]3^{x+2}-15\cdot 3^{x-2}≥22\cdot 3^{-4}[/tex]

1) Kaip ir sprendžiant rodiklines lygtis jei įmanoma galima pamėginti iškelti bendrąjį dauginamąjį prieš skliaustus. Šįkart tai padaryti galime taip:
[tex]7^{x-1}\cdot 7-7^{x-1}<6[/tex]
[tex]7^{x-1}(7-1)<6[/tex]
[tex]7^{x-1}\cdot 6<6|:6[/tex]
[tex]7^{x-1}<1[/tex]
Gavome pirmojo tipo nelygybę:
[tex]7^{x-1}<7^0[/tex]
Kadangi [tex]7>0[/tex], tai nelygybės ženklas lieka toks pat:
[tex]x-1<0[/tex]
[tex]x<1\implies x∈(-∞;1)[/tex]
Ats.: [tex](-∞;1)[/tex]

2) Vėl iškeliame bendrąjį dauginamąjį prieš skliaustus:
[tex]3\cdot 2^{\sqrt{x}-1}\cdot 2+2^{\sqrt{x}-1}≤14[/tex]
[tex]2^{\sqrt{x}-1}(6+1)≤14[/tex]
[tex]2^{\sqrt{x}-1}\cdot 7≤14|:7[/tex]
[tex]2^{\sqrt{x}-1}≤2[/tex]
Gavome pirmojo tipo nelygybę:
[tex]2^{\sqrt{x}-1}≤2^1[/tex]
Kadangi [tex]2>0[/tex], tai nelygybės ženklas lieka toks pat:
[tex]\sqrt{x}-1≤1[/tex]
[tex]\sqrt{x}≤2\implies 0≤x≤4\implies x∈[0;4][/tex]
Ats.: [tex][0;4][/tex]

3) Pertvarkome nelygybę ir iškeliame bendrąjį dauginamąjį prieš skliaustus:
[tex]3^{x-2}\cdot 3^4-15\cdot 3^{x-2}≥22\cdot 3^{-4}[/tex]
[tex]3^{x-2}(81-15)≥\frac{22}{81}[/tex]
[tex]3^{x-2}\cdot 66≥\frac{22}{81}|:66[/tex]
[tex]3^{x-2}≥\frac{1}{81\cdot 3}[/tex]
Gavome pirmojo tipo nelygybę:
[tex](\frac{1}{3})^{2-x}≥(\frac{1}{3})^5[/tex]
Kadangi [tex]0<\frac{1}{3}<1[/tex], tai nelygybės ženklas apverčiamas:
[tex]2-x≤5[/tex]
[tex]-x≤3|:(-1)\implies x≥-3\implies x∈[-3;+∞)[/tex]
Ats.: [tex][-3;+∞)[/tex]

3 tipo rodiklinės nelygybės (kintamojo pakeitimas)

Sprendžiant nelygybes šiuo būdu svarbu būti labai atsargiam, nes yra nemaža tikimybė padaryti klaidą. Spręsdami pavyzdžius išsiaiškinsime kokia ta klaida gali būti:
1) [tex]3^{x+2}+9^{x+1}≤810[/tex]
2) [tex]49^{x-2}-8\cdot 7^{x-2}+7<0[/tex]

1) Pirmiausiai kiek persitvarkome duotą nelygybę:
[tex]3^x\cdot 9+9^x\cdot 9≤810[/tex]
[tex]3^x\cdot 9+(3^x)^2\cdot 9≤810[/tex]
Įvedame keitinį: [tex]t=3^x[/tex], čia [tex]t>0[/tex]
Gauname nelygybę (keitinys įvestas teisingai, kadangi lygtyje neliko [tex]x[/tex]-ų):
[tex]9t+9t^2≤810|:9[/tex]
[tex]t^2+t-90≤0[/tex]
Ši nelygybė yra kvadratinė, ją galime spręsti grafiškai:
Randame kur parabolė [tex]y=t^2+t-90[/tex] kerta [tex]Ot[/tex] ašį:
[tex]t^2+t-90=0\implies t_1=-10;[/tex]  [tex]t_2=9[/tex]  (kol kas neatmetame neigiamo sprendinio)
Kadangi parabolės šakos eina į viršų, tai neteigiamas reikšmes (nelygybės ženklas ≤) funkcija įgis intervale:
[tex]t∈[-10;9][/tex]. Tačiau prisimename, jog [tex]t>0[/tex], vadinasi paėmę šių aibių sankirtą (dažna klaida, jog nerandama šių dviejų aibių sankirta) gauname, kad:
[tex]t∈(0;9]\implies 0<t≤9[/tex]
Grįžtame prie keitinio:
[tex]0<3^x≤9[/tex]. Kadangi [tex]3^x>0[/tex], nes rodiklinė funkcija neneigiama, tai galime rašyti tiesiog:
[tex]3^x≤9\implies 3^x≤3^2\implies x≤2\implies x∈(-∞;2][/tex]
Ats.: [tex](-∞;2][/tex]

2) Pirmiausiai kiek persitvarkome duotą nelygybę:
[tex](7^{x-2})^2-8\cdot 7^{x-2}+7<0[/tex]
Įvedame keitinį: [tex]t=7^{x-2}[/tex], čia [tex]t>0[/tex]. Gauname nelygybę:
[tex]t^2-8t+7<0\implies (t-1)(t-7)<0[/tex]
Išsprendę šia nelygybę gauname sprendinių aibę [tex]t∈(1;7)[/tex], kurią užrašykime taip [tex]1<t<7[/tex].
Šįkart šią reikšmių aibę suderinę su aibe reikšmių [tex]t>0[/tex] gauname tą pačią aibę [tex]1<t<7[/tex]. Vadinasi dabar grįžtame prie keitinio:
[tex]1<7^{x-2}<7[/tex]
Šią dvigubą nelygybę aiškumo dėlei galime užrašyti sistema, tada:
[tex]\begin{cases} 7^{x-2}>1 \\ 7^{x-2}<7 \end{cases}\implies \begin{cases} 7^{x-2}>7^0 \\ 7^{x-2}<7^1 \end{cases}\implies \begin{cases} x-2>0 \\ x-2<1\end{cases}\implies \begin{cases} x>2 \\ x<3\end{cases}\implies x∈(2;3)[/tex]
Ats.: [tex](2;3)[/tex]

4 tipo rodiklinės nelygybės (dalyba iš laipsnio)

Nagrinėsime nelygybę:
[tex]8^x+18^x<2\cdot 27^x[/tex]

Kaip žinia nelygybes iš reiškinio dalinti yra draudžiama, jei nėra aiškus to reiškinio ženklas. Tačiau, ar galime dalinti nelygybę iš laipsnio, kurio rodiklyje yra kintamasis? Atsakymas yra taip, kadangi [tex]a^x[/tex], kur [tex]a>0, a≠1[/tex] yra visada teigimas skaičius nepaisant kokią [tex]x[/tex] reikšmę imtume. Vadinasi dalindami iš laipsnio mes atliekame ekvivalentų pertvarkį. Tie, kas jau nagrinėjo temą apie rodiklines lygtis, žino, jog duotąją nelygybę galima dalinti iš bet kurio iš laipsnių: [tex]8^x[/tex], [tex]18^x[/tex], [tex]27^x[/tex]. Taigi pasirinktinai daliname ją  iš [tex]27^x[/tex]:

[tex]8^x+18^x<2\cdot 27^x|:27^x[/tex]
[tex]\frac{8^x}{27^x}+\frac{18^x}{27^x}<2[/tex]
[tex](\frac{8}{27})^x+(\frac{18}{27})^x<2[/tex]
Kaip ir spręsdami lygtis bandykime suvienodinti gautų laipsnių pagrindus:
[tex]\frac{8}{27}=(\frac{2}{3})^3[/tex];  [tex]\frac{18}{27}=\frac{2}{3}[/tex]
Gauname nelygybę:
[tex]((\frac{2}{3})^3)^x+(\frac{2}{3})^x<2\implies ((\frac{2}{3})^x)^3+(\frac{2}{3})^x<2[/tex]
Taikome keitinį: [tex]t=(\frac{2}{3})^x[/tex], čia [tex]t>0[/tex]
[tex]t^3+t<2\implies t^3+t-2<0\implies (t-1)(t^2+t+2)<0|:(t^2+t+2)>0[/tex]
[tex]t-1<0\implies t<1[/tex]
Kadangi: [tex]\begin{cases} t>0 \\ t<1 \end{cases}\implies 0<t<1[/tex]
Vadinasi grįžę prie keitinio gauname:
[tex]0<(\frac{2}{3})^x<1\implies (\frac{2}{3})^x<(\frac{2}{3})^0\implies x>0\implies x∈(0;+∞)[/tex]
Ats.: [tex](0;+∞)[/tex]