eMatematikas.lt
Pradžia Forumai + Nauja tema Nariai
Įrankiai
Formulės Testai Egzaminai
Prisijungti Registruotis
       

Sekos radimas, žinant narių sumą

Kaip rasti sekos n-jo nario formulę, žinant ( konstantos tikslumu) šios sekos pirmųjų n narių sumos išraišką?
Yra du akivaizdūs teiginiai:
x(n) = S(n) - S(n- 1), bei S(1) = x(1).
Čia S(n) - pirmųjų n narių suma, x(n) - n-sis narys.
PAVYZDYS:  Raskite C reikšmę bei sekos n-jį narį, jei S(n) = n² + C.
Sprendimas: 
x(n) = S(n) - S(n - 1) = n² - ( n - 1)² = 2n - 1.
Kadangi S(1) = x(1), tai 1² + C = 2 - 1, tad C=0.
Gavome sumą:
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n²
PAVYZDYS:  S(n) = ( n + 1)! + C.
Sprendimas:
x(n) = (n +1)! - n! = n! (n +1) - n! = n! n.
Kadangi S(1) = x(1), tai  2! + C = 1! 1, t.y. C = - 1.
Gavome įdomią sumą:
1! 1 + 2! 2 + 3! 3 + ... + n! n = ( n +1)! - 1.
PAVYZDYS:  S(n) = n(n+1) (2n+1) / 6 + C.
Randame S(n- 1) = ( n- 1) n ( 2n - 1) / 6 + C.
Randame sekos n-jį narį:
x(n) = S(n) - S(n-1) = n²
Remdamiesi teiginiu S(1) = x(1), gausime C=0.
Taigi, gavome:
1² + 2² + 3² + ... + n² = n ( n +1) ( 2n +1) / 6.
PAVYZDYS:  S(n) = (1/2) sin (2n+1)x + C ,  x∈R, x nelygu pi k, k∈Z.
Randame S(n- 1) = ( 1/2) sin (2n - 1)x + C
Vadinasi,
x(n) = (1/2) ( sin(2n+1)x - sin(2n -1)x ).
Iš lygybės S(1) = x(1) lengvai randame, jog
C= - (1/2) sinx.
Taikydami sinusų skirtumo formulę
sinx - siny = 2 sin( (x-y)/2) cos ( (x+y)/2),
pertvarkome sekos nario x(n) išraišką: 
x(n) = sinx cos(2nx).
Padalinę lygybės
x(1) + x(2) + ...+ x(n) = (1/2) ( sin(2n+1)x - sinx)
abi puses iš sinx, gausime gražią trigonometrinę sumą:
cos2x + cos4x +...+cos2nx= (sin(2n+1)x -sinx) / 2sinx.

1

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!