Skaičių sekos bei nuostabios sąsajos

Ar daugelis žino, jog sekos, išreikštos rekurentine formule
c(k+2) = pc(k+1) + qc(k),  (p, q∈R, q≠0 ) kai  p²+4q≠0,  narys c(k) yra tam tikrų dviejų geometrinių progresijų narių suma?...
Tiesa, bendru atveju tų progresijų vardikliai yra kompleksiniai, t.y. realieji, arba menamieji skaičiai.
Įžymiosios Fibonačio sekos( f(k+2)=f(k+1) + f(k),  f(1)=f(2)=1) narys f(k) yra  dviejų geometrinių progresijų, kurių vardikliai yra Ф ir (- 1/Ф), narių suma...
Čia Ф=(1+√5)/2 - įžymioji Dieviškoji proporcija.
Mistika? Anaiptol! Nes...Nėra mistikos! Yra nepažintų reiškinių...
Beje, ir Dieviškoji proporcija Ф yra kilusi iš geometrinės progresijos.  Jei skirtingi teigiami skaičiai a, b, a+b yra iš eilės einantys tam tikros geometrinės progresijos nariai, - tai šios geometrinės progresijos vardiklis ir yra Dieviškoji proporcija Ф.
Beje, mano anksčiau pateikto uždavinio (c) dalies atsakymas yra toks:
c(k) = 2 cos(pi(k-1)/3).
Kur čia geometrinių progresijų sumą? 
Ji yra, tik šių geometrinių progresijų vardikliai menamieji!
Esmė tai, kad realaus argumento trigonometrinė funkcija cos(kx), kuri tam tikru pavidalu karaliauja sekos c(k) nario formulėje, yra suma dviejų geometrinių progresijų, kurių vardikliai yra e^(ix) bei e^(- ix). Tiesa, kai x≠2 pi n, n∈Z.
Kompleksiniai skaičiai ne tik išvadavo sinusą bei kosinusą iš narvo [-1; 1], bet ir "sutuokė" juos su geometrine progresija!
Grįžkime prie sekos c(k+2) = pc(k+1) + qc(k). 
Pabaigai pridursiu, jog, kai p²+4q=0 , sekos c(k) bendras narys išreiškiamas taipogi gražia sandauga c(k) = a(k) b(k),
kur a(k)- tam tikros aritmetinės progresijos narys, b(k)- tam tikros geometrinės progresijos su realiuoju vardikliu narys...