Logika, kurios siaubingai trūksta mūsų mokyklose ir mūsų galvose.

Šioje pamokoje pateiksiu tai, ką turėtų žinoti kiekvienas, kuris mokosi mokykloje.
Aptarsiu penkias logines operacijas ir jų reikšmių sritį. Šią, be galo svarbią ir būtiną žinoti medžiagą, iliustruosiu pavyzdžiais ir, jei įmanoma, kontrapavyzdžiais. Be šios medžiagos nepriekaištingo supratimo jūsų matematikos žinojimas yra apgailėtinas.

Logikos požiūriu aš nagrinėsiu teiginius:
Apibrėžimas

Teiginys yra bet koks sakinys, apie kurį galime pasakyti, ar jis yra teisingas, ar neteisingas.

Remiantis šiuo apibrėžimu, galime ne tik pasakyti, bet ir teigti, kad sakiniai, apie kurios negalime pasakyti, teisingi jie, ar ne, nėra laikomi teiginiais.

Pavyzdžiai
Nagrinėkime sakinius:
A: Vardas Gustas vyriškas vardas,
B: 2 + 2 = 2;
C: Kaunas nėra Ispanijos sostinė.
D: O, jei tik galėčiau skraidyti...
E: Koks šiandien oras Vilniuje?
F: Visi vyrai turi po žmoną.
G: Kai kurie vyrai turi vaikų.
H: 1 > 1.
I: 1 ≥ 1.
J: Jeigu keturkampio įstrižainės sudaro statųjį kampą, tai šis keturkampis yra rombas.

Pakomentuokime kiekvieną sakinį:
Sakinys A yra teiginys, nes, akivaizdu, kad Gustas yra vardas, be to - vyriškas vardas. Taigi A yra teisingas teiginys.

Sakinys B yra teiginys, nes mes galime pasakyti, jog jis yra klaidingas, kas yra akivaizdu. Taigi sakinys B yra klaidingas teiginys.

Sakinys C  yra taip pat teiginys, kuris yra teisingas, nes Ispanijos sostinė yra Madridas.

Sakinys D nėra teiginys, nes mes negalime pasakyti, ar jis teisingas, ar klaidingas bet kokiu atveju.

Sakinys E taip nėra teiginys, nes mes negalime pasakyti, ar E yra teisingas ar klaidingas. Bet kokie klausiamieji sakiniai nėra teiginiai, nes jie, paprasčiausiai, nieko neteigia.

Sakinys F yra teiginys. Jis būtų teisingas, jei iš tikrųjų visi vyrai šiuo metu turėtų po žmoną, bet tai nėra, nes ką tik gimę vyriškos lyties naujagimiai žmonos neturi bei yra kitų n priežasčių. Taigi teiginys F yra klaidingas.

Sakinys G yra teiginys, ir tai yra teisingas teiginys, nes iš tikrųjų egzistuoja bent vienas vyras, kuris turi savo vaikų. Kiekvienas, kuris skaito šį mano įrašą, gali tai patvirtinti.

Sakinys H yra teiginys, kuris yra klaidingas teiginys, nes jame teigiama kad skaičius 1 yra didesnis skaičių 1. Akivaizdu, kad tai - netiesa.

Sakinys I yra teisingas teiginys, nes jame teigiama kad (1 > 1) arba (1 = 1). Operacija "arba" yra teisinga tada, kai teisingas bent vienas iš teiginių (1 > 1) ir (1 = 1). Apie tai kalbėsiu vėliau.

Sakinys J teiginys, kuris nėra teisingas. Nagrinėkime dvi tiesės atkarpas, kurios sudaro statųjį kampą. Bet kurios atkarpų galus sujunkime tiesės atkarpomis. Pastebime, kad galime gauti kvadratą (o tai yra kartu ir rombas), bet galime gauti ir deltoidą ar dar netaisyklingesnį keturkampį, kurie jau nėra rombai.

Tikiuosi, kad supratote, kada teiginiai skiriasi nuo sakinio. Dabar pereisime prie svarbiausio: loginių operacijų.
Tai yra 1) neigimas, 2) konjunkcija, 3) disjunkcija, 4) implikacija, 5) ekvivalentumas.
Apie jas išsamiau - komentaruose.

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-05-24

1

peržiūros 945

atsakymai 11

aktyvumas 6 mėn

 

Nuo šiol nagrinėsiu tik tokius sakinius, kurie yra teiginiai. Kaip žinome, teiginiai yra gali būti tik teisingi arba tik klaidingi. Negali vienas teiginys būti tuo pačiu ir teisingas ir klaidingas (trečiojo negalimo dėsnis).

Yra įprasta teisingiems teiginiams priskirti skaitinę reikšmę 1, o klaidingiems teiginiams - reikšmę 0.
Vienetą galime pakeisti raide t (nuo žodžio "teisingas"), o nulį galime pakeisti raide k (nuo žodžio "klaidingas).
Anglų kalboje atitikmenys būtų 1 - t (true) ir 0 - f (false).

Pažymėkime kokį nors teiginį raide p.

Loginis neigimas [tex]\neg[/tex] yra loginė operacija, kurį teiginio teisingumo reikšmę pakeičia į priešingą.


Pavyzdys:
Nagrinėkime teiginį p, kuris skamba taip: "2 + 2 = 3"

Matome, kad teiginys p yra klaidingas. Vadinasi, jam galima priskirti reikšmę 0.
Dabar atlikime loginį neigimą ir nagrinėkime teiginį [tex]\neg p[/tex] .
Toks teiginys skambėtų taip: "Netiesa, kad 2 + 2 = 3". Matome, kad teiginys [tex]\neg p[/tex] yra teisingas, todėl jam galime priskirti reikšmę 1.

Matome, kad neigimo operacija teisingus teiginius paverčia neteisingais, ir atvirkščiai - klaidingus teiginius neigimo operacija paverčia teisingais. Kitų variantų, kaip matome, nėra. Iš čia galima padaryti išvadas, kad visada galioja
dvigubo neigimo dėsnis [tex]\neg \neg p = p[/tex]
ir
trigubo neigimo dėsnis [tex]\neg\neg\neg p=\neg p[/tex]
Apie šios dėsnius smulkiau kalbėsiu komentare apie ekvivalentumą.

Šie dėsniai dar vadinami tautologijomis. Tai reiškia, kad šie dėsniai galioja visada: ir kai p yra teisingas teiginys, ir kai p yra neteisingas teiginys. Šie dėsniai naudojami įrodinėjant teoremas.

Dar keletas pavyzdžių:
1) Jei p yra teiginys "2 < 3",
tai [tex]\neg p[/tex] yra teiginys "Netiesa, kad "2 < 3", kitaip sakant,  [tex]\neg p[/tex] yra teiginys "2 ≥ 3".

Pastebime, kad neigimo operacija [tex]\neg [/tex] ženklą < keičia į ženklą ≥.
Ir dar: remiantis dvigubu neigimo dėsniu, operacija  [tex]\neg\neg [/tex] ženklo < nepakeistų.

2) Jei p yra teiginys "Kaunas yra Vilniaus sostinė", tai [tex]\neg p[/tex] yra teiginys "Netiesa, kad Kaunas yra Vilniaus sostinė".  Teiginį [tex]\neg p[/tex] galima išreikšti ir kitaip t.y. "Kaunas nėra Vilniaus sostinė".

Pavyzdyje 2) matome, kad atlikus neiginį [tex]\neg[/tex] teiginyje p. mes žodį "yra" pakeitėme į žodį "nėra".
Atlikime dvigubą neigimą pavyzdyje 2).

Taigi, [tex]\neg\neg p[/tex] yra teiginys "netiesa, kad netiesa, kad Kaunas yra Vilniaus sostinė". Perrašykime šį sakinį, nepakeisdami jo teisingumo:

[tex]\neg\neg p[/tex] yra teiginys "netiesa, kad Kaunas yra Vilniaus sostinė".
Ir galiausiai,

[tex]\neg\neg p[/tex] yra teiginys "Kaunas nėra Vilniaus sostinė" o tai sutampa su teiginiu p.

Parodėme, kad 2) pavyzdyje galioja dvigubo neigimo dėsnis  [tex]\neg \neg p = p[/tex].

Analogiškai galima būtų pasižiūrėti ir trigubo neigimo dėsnį.

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-05-25

0

Iki šiol nagrinėjome paprastuosius teiginius t.y. teiginius, kurie yra sudaryti iš vieno teiginio.

Apibrėžimas

Teiginys, kuris yra sudarytas iš dviejų ar daugiau teiginių, susietų kokia nors leistina logine operacija, yra vadinamas sudėtiniu teiginiu.


Šiame komentare pateiksiu esmę apie kitą loginę operaciją - konjunkciją, kuri žymima simboliu ∧, o žodinė simbolio išraiška yra "ir".

Pradžiai nagrinėsime sudėtinius teiginius, kurie yra sudaryti iš dviejų paprastųjų teiginių.

Tarkime, kad nagrinėjame du skirtingus teiginius p ir q.
Šių teiginių konjunkcija atrodys taip: p ∧ q.
Žodinė teiginių p ir q konjunkcija skamba taip: "p ir q".
Be to, užrašas q ∧ p iš esmės reiškia tą patį teiginį, t.y. teiginių sukeitimas vietomis konjunkcijoje teiginio teisingumo nepakeičia. Ši loginės operacijos savybė vadinamas komutatyvumu.
Kitaip sakant, dviejų teiginių konjunkcija yra komutatyvi operacija.

Pavyzdys 1
Tegul p reiškia teiginį "kvadrato įstrižainės sudaro statųjį kampą", o q reiškia teiginį "kvadrato kraštinės yra vienodo ilgio", tada šių teiginių konjunkcija p ∧ q reiškia teiginį

"kvadrato įstrižainės sudaro statųjį kampą ir kvadrato kraštinės yra vienodo ilgio".
Matome, kad teiginys p ∧ q yra teisingas.
Jis yra teisingas, nes abu teiginiai p ir q yra teisingi.

Jeigu bent vienas iš teiginių p ir q yra neteisingas, tai tada konjunkcijos p ∧ q yra neteisingi teiginiai. Vadinasi, kai turime du teiginius, tai galime išskirti keturis jų konjunkcijos atvejus:

Jeigu teiginys p yra teisingas ir teiginys q yra teisingas, tai konjunkcija p ∧ q  tai teisingas teiginys,
Jeigu teiginys p yra teisingas ir teiginys q yra neteisingas, tai konjunkcija p ∧ q  tai neteisingas teiginys,
Jeigu teiginys p yra neteisingas ir teiginys q yra teisingas, tai konjunkcija p ∧ q  tai neteisingas teiginys,
Jeigu teiginys p yra neteisingas ir teiginys q yra neteisingas, tai konjunkcija p ∧ q  tai neteisingas teiginys.

Remiantis šiomis keturiomis implikacijomis, galime atkreipti dėmesį į ribinius atvejus:
1) jeigu p yra teisingas teiginys, tai konjunkcija  p ∧ p yra teisinga,
2) jeigu p yra neteisingas teiginys, tai konjunkcija  p ∧ p yra neteisinga.


Pavyzdys 2
Tegul p reiškia teiginį "kvadrato įstrižainės sudaro statųjį kampą", o q reiškia teiginį "kvadrato visų kraštinių ilgių sumą yra didesnė už jo įstrižainių ilgių sumą", tada šių teiginių konjunkcija p ∧ q reiškia teiginį

"kvadrato įstrižainės sudaro statųjį kampą ir kvadrato kraštinių suma yra didesnė už jo įstrižainių ilgių sumą ".

Teiginys p ∧ q yra teisingas.
Jis yra teisingas, nes abu teiginiai yra teisingi. Nesunku patikrinti, jog bet kokio kvadrato perimetras savo skaitine verte yra daugiau už jo įstrižainių ilgių sumą, juolab, kad tai tampa akivaizdu nubrėžus brėžinį.
Kaip skambės teiginys [tex]p\wedge \neg q[/tex] ?

Kaip matome, sudėtinį teiginį p ∧ q papildėme viena neigimo operacija. Gavome sudėtinį teiginį, kuriame yra jau ne viena o dvi operacijos.
Jis skambės taip
"kvadrato įstrižainės sudaro statųjį kampą ir netiesa, kad kvadrato visų kraštinių ilgių suma yra didesnė už jo įstrižainių ilgių sumą".

Teiginys [tex]p\wedge \neg q[/tex] yra neteisingas, nes neteisingas teiginys [tex]\neg q[/tex].
Kaip skambės teiginys [tex]\neg \left ( p \wedge q \right )[/tex] ?

Kaip matome, konjunkcija yra apskliausta, o prieš ją parašytas neigimo simbolis. Tai reiškia, kad teiginyje [tex]p\wedge  q[/tex] mes neigiame ne kokį nors vieną jos narį, o visą konjunkciją, todėl šis teiginys skambės taip:

"Netiesa, kad kvadrato įstrižainės sudaro statųjį kampą ir kvadrato visų kraštinių ilgių suma yra didesnė už jo įstrižainių ilgių sumą".

Kadangi teisingo teiginio neigimas yra neteisingas teiginys, tai neteisingas yra ir teiginys [tex]\neg \left ( p \wedge q \right )[/tex]

Galite patys panagrinėti tokį klausimą:
Kuo skiriasi teiginiai [tex]\neg \left ( p \wedge q \right )[/tex],  [tex]\neg  p \wedge q [/tex]  ir  [tex]\neg  p \wedge \neg q [/tex]?
Kaip priklauso jų teisingumas nuo teiginių p ir q teisingumo?

Panagrinėję šį klausimą, jūs geriau įgusite dirbti su loginėmis operacijomis ir būsite geriau pasiruošę mokytis sudėtingesnių loginių procedūrų.

Konjunkcijos apibendrinimas
Galime nagrinėti daugiau, nei dviejų teiginių konjunkciją.
Sakykime, kad a, b, c, d ir e yra penki teiginiai, tada jų konjunkcija atrodys taip:
[tex]a\wedge b\wedge c\wedge d\wedge e[/tex]. Šį užrašą skaitome ir tariame "a ir b ir c ir d ir e". Ši konjunkcija yra teisingas teiginys, jei visi teiginiai a, b, c, d ir e yra teisingi. Jeigu bent vienas iš penkių teiginių yra neteisingas, tai ir visa jų konjunkcija [tex]a\wedge b\wedge c\wedge d\wedge e[/tex] yra neteisinga.

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-05-25

0

Sekanti loginė operacija, kurią paaiškinsiu, yra disjunkcija, kurios simbolis yra ∨, o žodinė išraiška "arba".
Taigi, jeigu turime teiginius p ir q, tai jų disjunkcija p ∨ q skamba "p arba q".
Disjunkcija yra komutatyvi operacija.

Apibrėžimas.
Tarkime, kad p ir q yra teiginiai.

Jeigu p yra teisingas teiginys ir q yra teisingas teiginys, tai disjunkcija p ∨ q yra teisingas teiginys,
Jeigu p yra teisingas teiginys ir q yra neteisingas teiginys, tai disjunkcija p ∨ q yra teisingas teiginys,
Jeigu p yra neteisingas teiginys ir q yra teisingas teiginys, tai disjunkcija p ∨ q yra teisingas teiginys,
Jeigu p yra neteisingas teiginys ir q yra neteisingas teiginys, tai disjunkcija p ∨ q yra neteisingas teiginys.

Kaip ir konjunkcijos atveju, disjunkcijos atvejų irgi yra keturi. Disjunkcija yra neteisinga, kai abu teiginiai yra neteisingi.
Kitas atvejais disjunkcija yra teisinga.

Jeigu p yra teisingas teiginys, tai disjunkcija p ∨ p yra teisingas teiginys.
Jeigu p yra neteisingas teiginys, tai disjunkcija p ∨ p yra neteisingas teiginys.

Analogiškai galime nagrinėti ir pavyzdžius, kaip kad padariau konjunkcijos atveju. Galime įterpti neiginį ir žiūrėti, kaip kinta sudėtinių teiginių teisingumas.

Pastaba. Ši disjunkcija yra vadinama negriežtąja disjunkcija. Žodinė griežtosios disjunkcijos [tex]p\oplus q[/tex] forma skamba taip: "arba p, arba q". Griežtoji disjunkcija yra komutatyvi operacija.

Jos teisingumo reikšmės yra tokios:
Jeigu p yra teisingas teiginys ir q yra teisingas teiginys, tai griežtoji disjunkcija [tex]p\oplus q[/tex] yra neteisingas teiginys,
Jeigu p yra teisingas teiginys ir q yra neteisingas teiginys, tai griežtoji disjunkcija [tex]p\oplus q[/tex] yra teisingas teiginys,
Jeigu p yra neteisingas teiginys ir q yra teisingas teiginys, tai griežtoji disjunkcija [tex]p\oplus q[/tex] yra teisingas teiginys,
Jeigu p yra neteisingas teiginys ir q yra neteisingas teiginys, tai griežtoji disjunkcija [tex]p\oplus q[/tex] yra neteisingas teiginys.

Užduotis
Tarkime, kad a, b, c, yra teisingi teiginiai. ar teisingi tada yra teiginiai
[tex]a\vee \neg a,~~\left ( a\vee b \right )\vee \left ( a\vee c \right ),~~\left ( \neg a\vee \neg c \right )\vee \neg\left ( \neg a \vee \neg c \right ),~~\left ( a\wedge b \right )\vee \left ( b\wedge c \right )[/tex], [tex]\neg a \oplus (b \vee \neg ( a \oplus b))[/tex]  ?

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-05-26

0

Dabar apžvelgsiu loginę operaciją implikaciją, kurios simbolis yra [tex]\Rightarrow[/tex], o žodinė išraiška yra "jei ..., tai...".
Implikacija yra be galo svarbi loginė operacija, ji yra visose teoremose ar lemose.

Tarkime, kad p ir q yra kokie nors skirtingi teiginiai. Tada jiems galime apibrėžti dvi implikacijas [tex]p\Rightarrow q[/tex] ir [tex]q \Rightarrow p[/tex].
Implikacijai negalioja komutatyvumo dėsnis t.y. implikacija [tex]p\Rightarrow q[/tex] visada skiriasi nuo [tex]q \Rightarrow p[/tex]

Implikacijų variantai gali būti keturi, štai jie:

Jei teiginys p yra teisingas ir teiginys q yra teisingas, tai implikacija [tex]p\Rightarrow q[/tex] yra teisingas teiginys,
Jei teiginys p yra teisingas ir teiginys q yra neteisingas, tai implikacija [tex]p\Rightarrow q[/tex] yra neteisingas teiginys,
Jei teiginys p yra neteisingas ir teiginys q yra teisingas, tai implikacija [tex]p\Rightarrow q[/tex] yra teisingas teiginys,
Jei teiginys p yra neteisingas ir teiginys q yra neteisingas, tai implikacija [tex]p\Rightarrow q[/tex] yra teisingas teiginys.


Paprastai yra sakoma, kad implikacijoje [tex]p\Rightarrow q[/tex], teiginys p yra prielaida, o teiginys q yra išvada.
Kaip matome, implikacija  [tex]p\Rightarrow q[/tex] yra klaidinga, jei iš teisingos prielaidos išvedame klaidingą išvadą.
Akivaizdu, kad teiginys [tex]p\Rightarrow p[/tex] yra teisingas, nepriklausomai nuo teiginio p teisingumo.

Implikaciją iš visų nagrinėtų loginių operacijų suvokti yra sunkiausia. Tad skirkite jai atitinkamai daugiau laiko. Čia loginiai ryšiai gali galioti net tada, kai tarp teiginių p ir q nėra prasmingo ar priežastinio ryšio. Dėl šios priežasties implikacijos įsisąmoninimas tampa sunkesnis, nei kitų loginių operacijų.

Pavyzdžiai
1) Tarkime, kad teiginys p yra "trikampis yra status", o teiginys q yra "trikampio įstrižainės ilgio kvadratas yra lygus jo statinių ilgių kvadratų sumai", tada implikacija  [tex]p\Rightarrow q[/tex] skamba taip:

"Jeigu trikampis yra status, tai trikampio įstrižainės ilgio kvadratas yra lygus jo statinių ilgių kvadratų sumai".
Šis teiginys yra teisingas. Jis yra teisingas, nes teiginiai p ir q abu yra teisingi. Be to, tarp teiginių p ir q yra prasmingas ryšys.

2) Tarkime, kad teiginys p yra "Kęstas yra vyriškas vardas", o teiginys q yra "Kaunas yra Lietuvos sostinė", tada implikacija  [tex]p\Rightarrow q[/tex] skamba taip:

"Jeigu Kęstas yra vyriškas vardas, tai Kaunas yra Lietuvos sostinė". Šis teiginys yra neteisingas, nes iš teisingos prielaidos p išvedama klaidinga išvada q, be to, tarp teiginių p ir q nėra prasmingo bei priežastinio ryšio.

3) Tarkime, kad teiginys p yra "Karvės pienas yra juodas", o teiginys q yra "Kaunas nėra Lietuvos sostinė", tada implikacija  [tex]p\Rightarrow q[/tex] skamba taip:

"Jeigu karvės pienas yra juodas, tai Kaunas nėra Lietuvos sostinė". Šis teiginys yra teisingas: iš neteisingos prielaidos p išvedama teisinga išvada q, net jei tarp teiginių p ir q nėra prasmingo ar priežastinio ryšio.

4) Tarkime, kad teiginys p yra "skaičius 5 dalijasi iš 3", o teiginys q yra "skaičius 10 dalijasi iš 8", tada implikacija  [tex]p\Rightarrow q[/tex] skamba taip:

"Jeigu skaičius 5 dalijasi iš 3, tai skaičius 10 dalijasi iš 8". Šis teiginys yra teisingas: iš neteisingos prielaidos p išvedama neteisinga išvada q. Tarp šių teiginių nėra prasmingo ar priežastinio ryšio.

5) Tarkime, kad teiginys p teisingas teiginys, q yra klaidingas teiginys. Kokie tada bus teiginiai [tex]p\Rightarrow \left ( q\Rightarrow p \right )[/tex]  ir  [tex]\left (p\Rightarrow q \right )\Rightarrow p[/tex]?

Kaip matome, šiuose teiginiuose yra po dvi implikacijas, vaizdinis skirtumas tik toks, kad skirtingose vietose sudėjome skliaustus.

Taigi, nagrinėkime pirmąjį teiginį [tex]p\Rightarrow \left ( q\Rightarrow p \right )[/tex]. Skliautuose esanti implikacija yra teisinga pagal apibrėžimą, taigi iš teisingos prielaidos p seka teisinga išvada- implikacija [tex]q\Rightarrow p[/tex], vadinasi, implikacija [tex]p\Rightarrow \left ( q\Rightarrow p \right )[/tex] yra teisinga taip pat.

Kita implikacija [tex]\left (p\Rightarrow q \right )\Rightarrow p[/tex] taip pat yra teisingas teiginys. Pabandykite patys panagrinėti, kodėl taip yra, perskaitę šią medžiagą.

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-05-25

0

Teiginių ekvivalentumas.
Ekvivalentumo simbolis šioje temoje atrodys taip: [tex]\Leftrightarrow[/tex].
Ekvivalentumo žodinė išraiška gali būti tokia: "... tada ir tik tada, kai..." arba "... jei ir tik jei ...".

Tarkime, kad p ir q yra kokie nors teiginiai.
Tada užrašas [tex]p\Leftrightarrow q[/tex] tariamas taip: "p tada ir tik tada, kai q" arba "p jei ir tik jei q".

Dviejų teiginių ekvivalentumas gali įgyti keturias teisingumo reikšmes, kurios yra tokios.

Jeigu teiginys p yra teisingas ir teiginys q yra teisingas, tai jų ekvivalentumas [tex]p\Leftrightarrow q[/tex] yra teisingas teiginys,
Jeigu teiginys p yra teisingas ir teiginys q yra neteisingas, tai jų ekvivalentumas [tex]p\Leftrightarrow q[/tex] yra neteisingas teiginys,
Jeigu teiginys p yra neteisingas ir teiginys q yra teisingas, tai jų ekvivalentumas [tex]p\Leftrightarrow q[/tex] yra neteisingas teiginys,
Jeigu neteiginys p yra teisingas ir teiginys q yra neteisingas, tai jų ekvivalentumas [tex]p\Leftrightarrow q[/tex] yra teisingas teiginys

Kaip matome, ekvivalentumas yra teisingas kai, abu teiginiai yra arba teisingi, arba abu neteisingi.
Pastebime, kad ši loginė operacija yra komutatyvi.

Pavyzdys 1
Tarkime, kad p reiškia teiginį "skaičius 6 dalijasi iš 3", o q reiškia teiginį "skaičius 12 dalijasi iš 5", tada teiginys [tex]p\Leftrightarrow q[/tex] gali turėti tokias žodines išraiškas:
"skaičius 6 dalijasi iš 3 tada ir tik tada, kai skaičius 12 dalijasi iš 5",
"skaičius 6 dalijasi iš 3, jei ir tik jei skaičius 12 dalijasi iš 5",
"skaičius 12 dalijasi iš 5 tada ir tik tada, kai skaičius 6 dalijasi iš 3",
"skaičius 12 dalijasi iš 5, jei ir tik jei skaičius 6 dalijasi iš".

Šie keturi variantai išreiškia tą patį teiginį [tex]p\Leftrightarrow q[/tex]. Akivaizdu, kad šiuo atveju šis teiginys yra neteisingas. Jis yra neteisingas, jei tik vienas teiginys q yra neteisingas.

Nesunku pastebėti, kad, pasinaudojus neigimo operacija prieš teiginį q teiginyje [tex]p\Leftrightarrow q[/tex], galime gauti teisingą teiginį [tex]p\Leftrightarrow  \neg q[/tex], kuris atrodo taip:

"skaičius 6 dalijasi iš 3 tada ir tik tada, kai skaičius 12 nesidalija iš 5".


Dabar ekvivalentumą pakeisime jau išnagrinėtomis loginėmis operacijomis: konjunkcija ir implikacija bei gausime labai svarbų rezultatą.

Tarkime, kad p ir q yra kokie nors teiginiai. Parašykime jiems dvi galimas implikacijas:
[tex]p \Rightarrow q[/tex]  ir  [tex]q \Rightarrow p[/tex].
Susiekime šias dvi implikacijas konjunkcijos ∧ operacija, tada gausime naują teiginį:[tex]\left ( p\Rightarrow q \right )\wedge \left ( q\Rightarrow p\right )[/tex]. Parašykime jo žodinę išraišką:
"Jei p, tai q ir jei q, tai p"

Išnagrinėkime šio teiginio teisingumą (čia reikia remtis konjunkcijos ir implikacijos teisingumo reikšmėmis)
Jei teiginys p yra teisingas ir teiginys q yra teisingas, tai teiginys [tex]\left ( p\Rightarrow q \right )\wedge \left ( q\Rightarrow p\right )[/tex] yra teisingas,
Jei teiginys p yra teisingas ir teiginys q yra neteisingas, tai teiginys [tex]\left ( p\Rightarrow q \right )\wedge \left ( q\Rightarrow p\right )[/tex] yra neteisingas,
Jei teiginys p yra neteisingas ir teiginys q yra teisingas, tai teiginys [tex]\left ( p\Rightarrow q \right )\wedge \left ( q\Rightarrow p\right )[/tex] yra neteisingas,
Jei teiginys p yra neteisingas ir teiginys q yra neteisingas, tai teiginys [tex]\left ( p\Rightarrow q \right )\wedge \left ( q\Rightarrow p\right )[/tex] yra teisingas.


Dabar palyginkime šiame komentare teiginių [tex]p\Leftrightarrow q[/tex]  ir  [tex]\left ( p\Rightarrow q \right )\wedge \left ( q\Rightarrow p\right )[/tex] teisingumo reikšmes. Matome, kad tos reikšmės sutampa esant atitinkamoms teiginių p ir q teisingumo reikšmėms!
Dėl šios priežasties, mes galime daryti išvadą, kad
teiginiai  [tex]p\Leftrightarrow q[/tex]  ir  [tex]\left ( p\Rightarrow q \right )\wedge \left ( q\Rightarrow p\right )[/tex] yra ekvivalentūs.
Kitaip tariant,
[tex]\left ( p\Leftrightarrow q \right ) \Leftrightarrow \left (\left ( p\Rightarrow q \right )\wedge \left ( q\Rightarrow p\right ) \right )[/tex]

Gavome naują teiginį, kuriame, kaip matome, yra dvi implikacijos operacijos, dvi ekvivalentumo operacijos, viena konjunkcijos operacija bei trys suskliaudimai.
Suskliaudimai parodo, kokia tvarka reikia taikyti logines operacijas. Suskliaudimas yra svarbus, nuo jo priklauso pats teiginys t.y. skirtingu būdu sudedant skliaustus tame pačiame teiginyje, mes galime gauti skirtingus teiginius.

Pateiksiu pavyzdį, kuris iliustruoja ką tik gautą rezultatą.
Pavyzdys 2

Tarkime, jog teiginys p turi išraišką "Trikampis T yra status", o teiginys q turi išraišką "Trikampio T statinių ilgių kvadratų suma yra lygi jo įžambinės ilgio kvadratui". Tada teiginys [tex]p\Rightarrow q[/tex]  turės išraišką

"Jei Trikampis ABC yra status", tai Trikampio T statinių ilgių kvadratų suma yra lygi jo įžambinės ilgio kvadratui", o
teiginys [tex]q\Rightarrow p[/tex] turės išraišką

"Jei Trikampio T statinių ilgių kvadratų suma yra lygi jo įžambinės ilgio kvadratui", tai Trikampis ABC yra status", tai tada teiginys [tex]\left ( p\Rightarrow q \right )\wedge \left ( q\Rightarrow p\right )[/tex] turės išraišką

"Jei Trikampis ABC yra status", tai Trikampio T statinių ilgių kvadratų suma yra lygi jo įžambinės ilgio kvadratui" IR "Jei Trikampio T statinių ilgių kvadratų suma yra lygi jo įžambinės ilgio kvadratui", tai Trikampis ABC yra status".

Remiantis ekvivalentumu [tex]\left ( p\Leftrightarrow q \right ) \Leftrightarrow \left (\left ( p\Rightarrow q \right )\wedge \left ( q\Rightarrow p\right ) \right )[/tex], galime perrašyti teiginį taip:

" Trikampis ABC yra status tada ir tik tada, kai Trikampio T statinių ilgių kvadratų suma yra lygi jo įžambinės ilgio kvadratui".

Ši galutinė žodinė išraiška yra teiginys, kuri dar vadinama Pitagoro teorema. Taigi, Pitagoro teoremą sudaro su teisingi teiginiai p ir q, susieti ekvivalentumo operacija [tex]\Leftrightarrow[/tex]. Šią teoremą galime suskaidyti į dvi teoremas t.y. [tex]p \Rightarrow q[/tex]  ir  [tex]q \Rightarrow p[/tex], kurios laikomos viena kitai atvirkštinėmis.

Užduotis
Tarkime, kad p ir q yra kokie nors teiginiai. Remiantis visoje šio forumo temoje išdėstyta informacija, galite nesunkiai įrodyti, kad
[tex]\neg \neg p \Leftrightarrow p,[/tex]
[tex]\left ( p\wedge q \right )\Leftrightarrow \neg \left ( \neg p \vee \neg q \right ),~~\left ( p\wedge q \right )\Leftrightarrow \neg \left ( p \Rightarrow \neg q \right )[/tex]
[tex]\left ( p \vee q \right )\Leftrightarrow \neg \left ( \neg p \wedge \neg q \right ),~~\left ( p \vee q \right )\Leftrightarrow \left (\neg p \Rightarrow q \right )[/tex]
[tex]\left ( p \Rightarrow q \right )\Leftrightarrow \neg \left (p \wedge \neg q \right ),~~\left ( p \Rightarrow q \right )\Leftrightarrow \left (\neg p \vee q \right )[/tex]

0

Norėčiau pasitikslinti: o kartais Pitagoro teorema nėra tiesiog teiginys: [tex]p⇒q[/tex], o [tex]q⇒p[/tex] - atvirkštinė Pitagoro teorema?

0

Kaip matau, iš pirmo karto nesupratai, tai sakau dar kartą: nebesikreipk į mane.

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-05-25

0

Žinau, kad nieko nežinau

0

Kad labiau pasidarytų aišku, apie ką aš čia pamoką dariau, tai panagrinėsiu kelis sudėtinius teiginius, juos išskaidysiu į paprastuosius teiginius, bei pačius teiginius parašysiu per formules. Na, ir galbūt dar ką nors su jais pademonstruosiu.

1. Panagrinėkime tokį teiginį:
Jeigu lygtis f(x) = 0 yra kvadratinė lygtys, tai ji turi arba du skirtingus realiuosius sprendinius, arba du vienodus realiuosius sprendinius, arba neturii realiųjų sprendinių.

Šis teiginys yra teisingas, nes tai matematikos teorijos faktas. Jį reikėtų įrodyti, tačiau šioje temoje to nedarysime (tai darysime galbūt kitoje temoje).
Šis teiginys yra sudėtinis, ir jis yra sudarytas iš keturių paprastesnių teiginių, kurie yra tokie:

a - "lygtis f(x) = 0 yra kvadratinė lygtis",
b - "lygtis f(x) = 0 turi du skirtingus realiuosius sprendinius",
c - "lygtis f(x) = 0 turi du vienodus realiuosius sprendinius",
d - "lygtis f(x) = 0 neturi realiųjų sprendinių".

Remiantis aukščiau išdėstyta medžiaga, galime pastebėti, kad teiginiai b, c ir d yra susieti griežtosios disjunkcijos [tex]\oplus[/tex] operacija t.y. [tex]a \oplus b \oplus c[/tex].
Teiginys  [tex]a \oplus b \oplus c[/tex] turi tokią žodinę išraišką:
"arba lygtis f(x) = 0 turi du skirtingus realiuosius sprendinius, arba lygtis f(x) = 0 turi du vienodus realiuosius sprendinius, arba lygtis f(x) = 0 neturi realiųjų sprendinių".

Taip pat nesunku pastebėti, kad du teiginiai a ir [tex]a \oplus b \oplus c[/tex] yra susieti implikacijos [tex]\Rightarrow[/tex] operacija. Tada teiginys atrodys taip:

[tex]a \Rightarrow \left (b \oplus c \oplus d \right )[/tex]
Skliaustai būtini, skliaustų sudėjimas yra svarbus ir priklauso nuo to, kokius teiginius susiejame implikacijos operacija.
Jeigu implikacijos operacija susiejame sudėtinius teiginius, tai juos būtina skliausti.

Taigi gavome, kad teiginį "Jeigu lygtis f(x) = 0 yra kvadratinė lygtys, tai ji turi arba du skirtingus realiuosius sprendinius, arba du vienodus realiuosius sprendinius, arba neturi realiųjų sprendinių" galime perrašyti formule  [tex]a \Rightarrow \left (b \oplus c \oplus d \right )[/tex]

2. Nagrinėkime šiek tiek skirtingą teiginį:
Jei lygtis f(x) = 0 yra kvadratinė lygtis, tai ji arba turi realiųjų sprendinių, arba neturi realiųjų sprendinių.
Akivaizdu, kad ir šis teiginys yra teisingas. Teiginys yra sudėtinis ir sudarytas iš dviejų teiginių:
a - "lygtis f(x) = 0 yra kvadratinė",
b - "lygtys f(x) turi realiųjų sprendinių"

Panaudoję neigimo operaciją, gauname papildomą teiginį [tex]\neg b[/tex], kuris turi išraišką "lygtis f(x) = 0 neturi realiųjų sprendinių".

Taigi antrojo pavyzdžio sudėtinis teiginys turės išraišką [tex]a\Rightarrow \left ( b\oplus \neg b \right )[/tex].


0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!