Tomas (+4567)
Kuriu šią temą dėl 2025 m. matematikos bandomojo A lygio 18 uždavinio. Jo sąlyga tokia:
Skaičiai [tex]\log_3 17[/tex], [tex]\log_a17[/tex], [tex]\log_{27} 17[/tex] yra trys iš eilės einantys aritmetinės progresijos nariai. Nustatykite skaičiaus [tex]a[/tex] reikšmę (čia [tex]a > 0[/tex], [tex]a ≠ 1[/tex]).NŠA pasidalino tokiu šio uždavinio sprendimu: vertinimo instrukcija.
Aš norėčiau pademonstruoti sprendimą, kuriame nebūtų reikalingas logaritmų savybių taikymas:
Pirmiausiai pasižymime:
[tex]x=\log_3 17[/tex], [tex]y=\log_a17[/tex], [tex]z=\log_{27} 17[/tex]
Taikant logaritmo apibrėžimą galime užsirašyti:
[tex]3^x=a^y=27^z\implies 3^x=a^y=(3^3)^z\implies 3^x=a^y=3^{3z}.[/tex]
[tex]3^x=3^{3z}\implies x=3z.[/tex]
Taikant aritmetinės progresijos apibrėžimą galime užrašyti:
[tex]y-x=z-y\implies 2y=x+z\implies 2y=3z+z\implies 2y=4z\implies y=2z[/tex]
[tex]a^y=3^{3z}\implies a^{2z}=3^{3z}\implies (a^2)^z\implies (3^3)^z\implies a^2=27\implies a=3\sqrt3\space (a>0).[/tex]
pakeista prieš 8 mėn