3 nelygybiu uzdaviniai.nelabai suprantu.

1. 1+ 1/√2+1/√3+⋯+1/√n>√n, visiems n≥2.

2. Jei a+b=1, tai 〖(a+1/a)〗^2+〖(b+1/b)〗^2≥25/2, visiems teigiamiems a,b.
ir
3.a^3 b+b^3 c+c^3 a≥abc(a+b+c), kur a,b,c≥0.

nelabai suprantu siu uzdaviniu.

1. 1+ 1/√2+1/√3+⋯+1/√n>√n, visiems n≥2.
pagal matematinę indukciją.
patikrinam salygą su n=2
1+1/√2>√2
teisinga, tai tariame kad teiginys teisingas su visais n+1
[tex]1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}[/tex]
pritaikome teisingą mūsų teiginį
[tex]\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}[/tex]
padauginam iš √n+1
[tex]\sqrt{n}\sqrt{n+1}+1>n+1[/tex]
[tex]\sqrt{n}\sqrt{n+1}>n[/tex]
[tex]\sqrt{n+1}>\sqrt{n}[/tex]

taigi teiginys teisingas su visais n≥2

2 uždavinyje galima taikyti Koši-Buniakovskio-Švarco nelygybę (kurią, kaip konkursų dalyvis, turėtum žinoti):
[tex](x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+...+x_ny_n)^{2}\leq(x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}+...+x_n^{2})(y_1^{2}+y_2^{2}+y_3^{2}+...+y_n^{2})[/tex](visiems realiesiems skaičiams). Pagal šią nelygybę
[tex]2((a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2})\geq(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b})^{2}=(1+\frac{1}{ab})^{2}\geq(1+\frac{4}{(a+b)^{2}})^{2}=25\Rightarrow (a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}\geq[/tex][tex]\frac{25}{2}[/tex]

3. sąlyga tikrai tokia?

3 uzdavinio salyga tikrai tokia

3.a^3 b+b^3 c+c^3 a≥abc(a+b+c), kur a,b,c≥0.

nes jei paimsi a=b=c=2
gausi
kairėj pusėj 2³ visus o dešinėj 2 ketvirtuoju. ;D

Mirtise3.a^3 b+b^3 c+c^3 a≥abc(a+b+c), kur a,b,c≥0.

nes jei paimsi a=b=c=2
gausi
kairėj pusėj 2³ visus o dešinėj 2 ketvirtuoju. ;D

lukasm

Mirtise3.a^3 b+b^3 c+c^3 a≥abc(a+b+c), kur a,b,c≥0.

nes jei paimsi a=b=c=2m
gausi
kairėj pusėj 2³ visus o dešinėj 2 ketvirtuoju. ;D

Klysti. Jei a=b=c=2, tai abidvi pusės lygios 3*2^4 ir tai neprieštarauja sąlygai.

3. Taikykime aritmetinio-geometrinio vidurkio nelygybę:

[tex]2 x^3 y + 4 y^3 z + z^3 x \ge 7 \left( (x^3 y)^2 (y^3 z)^4 z^3 x\right)^{1/7}
= 7 x y^2 z,[/tex]

kai [tex]x, y, z \ge 0[/tex]. Susumavę tris nelygybes, kurias gauname parinkę [tex](x, y, z) = (a, b, c), (b, c, a)[/tex] ir [tex](c, a, b)[/tex] gauname

[tex]7 a^3 b + 7 b^3 c + 7 c^3 a \ge 7 a^2 b c + 7 a b^2 c + 7 a b c^2,[/tex]

ką ir reikėjo įrodyti.

lietuvis9x, jei tikrai domiesi matematika ir dalyvauji konkursuose, siūlau parsisiųsti ir paskaityti ,,Matematikos knygą". Joje rasi daug olimpiadinės teorijos ir uždavinių. http://www.olimpiados.lt/matematika/matematikos-knyga/blog