ematematikas
Kategorijos +Nauja tema Prisijungti        

Abstrakčioji algebra. Žiedų homomorfizmai

Aukštoji matematika Peržiūrų skaičius (365)

Sveiki turiu porą uždavinių su žiedais kurie mane glumina.
Žinau, kad f: A → B homomorfizmas tada, jei:
1. f(a+b) = f(a) + f(b)
2. f(a*b) = f(a) * f(b)
Žinau, kad žiedai izomorfiniai, kai f - bijekcija.
Taip pat, su grupių homomorfizmais man viskas aišku.
Klausimai:
Ar f yra ta pati funkcija sudėties ir daugybos atžvilgiu?
Ar galėtumėt pateikti konkrėčių pavyzdžių žemiau pateiktiems klausimams?


Nurodykite bent vieną žiedų homomorfizmą f : 2Z → 3Z.
Raskite visus žiedų homomorfizmus f : 2Z → 3Z.
Ar žiedai 2Z ir 3Z yra izomorfiniai?

Paskutinį kartą atnaujinta 2019-04-01

0

Konkrečiai tavo atveju, galime nesunkiai įsitikinti, kad atvaizdavimas f(x) = 0 yra žiedų 2Z ir 3Z homomorfizmas.
Raskime visus homomorfizmus. Imkime a=b=2. Tada turime f(4)=2f(2) ir f(4)=f(2)^2 arba f(2)(f(2)-2)=0. Iš paskutinės lygybės turime, kad f(2)=0 arba f(2)=2. Pastarasis atvejis negalimas, nes 2∉3Z. Toliau naudojamės matematine indukcija: a=2 => f(2) = 0. Tarkime, kad su visais lyginiais x, iki 2(n-1) imtinai, f(x) = 0. Tada f(2n)=f(2+2(n-1))=f(2)+f(2(n-1))=0+0=0.  Įrodymui, kad f(a) = 0, kai a neigiami lyginiai skaičiai, galime remtis savybe, kad f(-a)=-f(a). Na, o atveju, kai a=0, turime f(0) = f(0+0) = 2f(0) => f(0)=0.
Atsakant į paskutinį klausimą, akivaizdžiai ne, nes vienintilis žiedų 2Z ir 3Z homomorfizmas nėra bijekcija.

Paskutinį kartą atnaujinta 2019-04-02

1

Ačiū, aiškiau!

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!