eMatematikas
Pradžia Forumai + Nauja tema Nariai
Įrankiai
Formulės Testai Egzaminai
Prisijungti Registruotis
       

Analizinė geometrija. Hiperbolė, parabolė, elipsė

Labas vakaras,kreipiuosi į jus kaip į paskutinę viltį. Mano pati nesuprantamiausia tema:

1) Apskaičiuokite elipsės 4x²+25y²=100 pusašių ilgius

2 Parašyti hiperbolės lygtį,jei ji eina per taškus A(6;1) ir B(8;3)

3) Parabolė eina per tašką B(4;5),jos viršūnė taške (-2;3),o simetrijos ašis lygiagreti OY ašiai. Parašykite tos parabolės lygtį

Kaip? Help

0

Nu kad jau pasakei, Bodžekai, jog čia kaip ir paskutines viltis dedi į šitą forumčiką, tai jau man gi širdelę susopo, ir nepatingėsiu kiek savo senas smegenėles pasukti, kad analizinę geometriją prisiminčiau ir tau padėti galėčiau. Tik vat trečią uždavinuką biškį tingiu surašyti, tai mažumėlę gal palauk, tamstele Bodžekai, kolei aš nueisiu arbatytės išgerti, ir tada surašysiu gal ir trečią, o gal per tą laiką ir kitas koks geradaris ponas atsiras, kuris nepatingės tave bėdelėje pagelbėti ir sprendimą sąvąjį surašyti.

1) Kaip tikriausiai teko girdėti, Bodžekai, kanoninė elipsės lygtis
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$
Skaičiukai $a$ ir $b$ šioje lygtelėje lygūs elipsės pusašių ilgiams. Taigi, jei savosios lygtelės abi puseles padalinsi iš $100$, gausi lygtį
$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$$
arba kitaip
$$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{2^2}=1.$$
Tataigi reiškia, kad elipsės pusašių ilgiai yra $5$ ir $2$.

2) Kaip tikriausiai teko girdėti, Bodžekai, kanoninė giberbolės lygtis nuo elipsės lygtelės viso labo minusiuku skiriasi, t. y.
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$$
Tai vatgi imkim ir per daug sau galvelės, taip sakant, nelaužę, įstatykim tuos duotos taškus į šią lygtį, bo juk giperbolė turi per tuos taškelius praskrieti. I tak gausim
$$\begin{cases}
\frac{36}{a^2}-\frac{1}{b^2}=1\\
\frac{64}{a^2}-\frac{9}{b^2}=1.
\end{cases}$$
Ogi dabartės padauginkim pirmą lygtį iš $-9$ ir sudėkim su antrąją. Šitaip gausime lygtelę
$$-\frac{260}{a^2}=-8,$$
iš katrosios turime, kad $a^2=32.5$. Tataigi belieka su $b^2$ surasti ir jau turėsim gatovą giperbolės lygtį. Iš pirmosios lygtelės
$$\frac{1}{b^2}=\frac{36}{a^2}-1=\frac{36}{32.5}-1=\frac{7}{65}\Rightarrow b^2=\frac{65}{7}.$$
I tak gaunam, kad mūsų giperbolės lygtelė
$$\frac{x^2}{32.5}-\frac{y^2}{65/7}=1.$$

1

O vat imsiu ir dar vieną žuvelę numesiu, bo jau įpykau, ponai, man jau užvirė kraujas, ir neduok tu Dieve dabar dar kokį aparpuolį gausiu. Tataigi vat imsiu ir trečią uždavinuką išspręsiu. O ten gi reikia susigaudyti, kad parabolės lygtis užrašoma lygtele
$$y=ax^2+bx+c$$
beigi reikia prisiminti, kad parabolės viršūnės abscisa $x_0$ vat pagal tokią formulikę apskaičiuojama:
$$x_0=-\frac{b}{2a}.$$
Tatgi mūsų atveju viršūnės abscisa lygi $-2$, todėl gi gaunam lygtelę
$$-\frac{b}{2a}=-2\Rightarrow b=4a$$
beigi įstatę turimus taškelius į parabolos lygtelę, katrąją aukščiau užrašiau, dar gauname dvi lygtužėles:
$$3=4a-2b+c$$
beigi
$$5=16a+4b+c.$$
Tatgi gaunam sistemėlę iš šių trijų lygtelių, būtent
$$
\begin{cases}
b=4a\\
4a-2b+c=3\\
16a+4b+c=5.
\end{cases}
$$
Ir, taip sakant, išsprendęs šitą sistemėlę, kame sunkumų tikriausiai nebus, Bodžekai, gausi kak raz $a=\frac{1}{18}$, $b=\frac{2}{9}$ beigi $c=\frac{29}{3}$, taigi parabolos lygtelė
$$
y=\frac{1}{18}x^2+\frac{2}{9}x+\frac{29}{9}.$$

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-11-11

1

Šioje temoje naujų žinučių rašymas yra išjungtas!