Šiaurė +335
Sveiki. Gal turit idėjų, kur galėjau klaidą padaryti. Nesigauna atsakymas.
Duota:
[tex]y''=\frac{y'}{x}(1+ln\frac{y'}{x})[/tex]
Atsakymas:
[tex]y=\frac{x}{C_1}e^{C_1x}-\frac{1}{C_1^2}e^{C_1x}+C_2[/tex]
Sprendimas:
Naudoju šiuos keitinius: [tex]y'=p[/tex] ir [tex]y''=\frac{dp}{dx}[/tex]
Sumažinu duotosios lygties eilę:
[tex]p'=\frac{p}{x}(1+ln\frac{p}{x})[/tex]
Pastebėjau, kad lygtis yra homogeninė - todėl taikau šiuos keitinius [tex]p=ux [/tex] ir [tex]p'=u'x+u[/tex]
[tex]u'x+u=u(1+lnx)[/tex] pertvarkau lygtį
[tex]\frac{du}{dx}x=u\cdot lnx [/tex]
[tex]\frac{du}{u}=\frac{lnx}{x}dx[/tex] integruoju abi puses ir gaunu:
[tex]lnu=\frac{1}{2}ln^2x+C_1[/tex]
[tex]u=e^{\frac{ln^2x}{2}+c_1}[/tex]
[tex]y'=p=xe^{\frac{ln^2x}{2}+c_1}[/tex]
[tex]dy=xe^{\frac{ln^2x}{2}+c_1}dx[/tex]
Ir čia sustojau, nes nežinau net kaip toliau reikėtų integruoti. Dėkui