Antros eilės kreivės: Dviejų tiesių susikirtimas

Rasti geometrinę vietą taškų, kur susikerta dvi tiesės
$$\frac {x}{3} - \frac {y} {3} =m,\quad \frac {x}{3} + \frac {y} {2} = \frac {1} {m}. $$

Kažkada sprendžiau šį uždavinuką, bet taip ir nepavyko sutvarkyt iki galo. Lyg ir hiperbolė gaunasi.

Na, pavyko pačiai susiskaičiuoti.

Eliminavus m gaunasi lygtis:

$2x^2 + xy-3y^2 - 18 = 0. $

Patikrinus
$\delta = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12}^2 = 2 \cdot (-3) - (1/2)^2 = -25/2 < 0$

gaunasi, kad kreivė hiperbolinė.

Paskui etapais vykdomas lygties suvedimas į kanoninį pavidalą. Šiuo atveju gaunasi bjaurios tikrinės reikšmės:
$\lambda_1 = \frac {-1-\sqrt {26}}{2}, \quad \lambda_2 = \frac {-1+\sqrt {26}}{2}. \quad $

Tiriant gaunama, kad kreivės centras yra koordinačių pradžioj, o pačias koordinatines ašis reikia pasukti $-5,7° $ kampu.
Tada naujojoje koordinačių sistemoje $ x_1Oy_1 $  hiperbolės  lygtis susiveda į tokią kanoninę lygtį:

$\frac {x1^2} {a^2} - \frac {y1^2}{b^2} =1, \quad a^2 = \frac {36} {25} ( \sqrt {26} + 1), \quad b^2 = \frac {36} {25} ( \sqrt {26} - 1).$

Paspauskite ant paveikslėlio, kad padidintumėt.