eMatematikas.lt
Pradžia Forumai + Nauja tema Nariai
Įrankiai
Formulės Testai Egzaminai
Prisijungti Registruotis
       

Aplink trapeciją apibrėžto apskritimo spindulys

Sveiki,

niekaip nesugebu išspręsti uždavinio, gal galėtumėt padėti? Čia visa informacija, kuri duota:
ABCD - trapecija;
BC = 15;
CD = 24;
AB - trumpesnysis pagrindas;
CD - ilgesnysis pagrindas;
/_ C = 60 laipsnių;
Aplink trapeciją ABCD apibrežtas apskritimas.

Pavyko įrodyti, kad trapecija yra lygiašonė ir apskaičiuoti, kad aukštinė yra 7.5√3

Gal duosit užuomenų?

Ačiū.

0

https://www.ematematikas.lt/upload/images/1540143490_2093.png

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-10-21

0

Kaip suprantu OC dalina kampą C į du lygius po 30 laipsnių, taip?

0

Ne, čia taip tik atrodo iš paveikslėlio.

1

Supratau, ačiū labai!

0

Oi ir visgi koks gražus šis uždavinys. Pirma, niekas nekėlė klausimo, kodėl aš nutariau, jog apie lygiašonę (tik apie tokią ir galima apibrėžti) trapeciją apibrėžto apskritimo centras yra tos trapecijos viduje. O gal yra priešingai, tai yra jis yra ant ilgesniojo trapecijos pagrindo ar aplamai tos trapecijos išorėje. Taigi sprendžiant šį uždavinį visgi reiktų įsirodyti, kuris iš šių atvejų yra pateiktas sąlygoje. Ar kiltų kam abejonių dėl mano teiginio, jog tokiu atveju apskritimo centras tikrai yra ant šios trapecijos simetrijos ašies, t.y. tiesės, einančios per trapecijos pagrindų vidurio taškus ir statmenos tiems pagrindams? Jei ne, tai keliaujame toliau. Persikelkime brėžinį į koordinačių plokštumą. Pasirenkame taškus D(-12;0) ir C(12;0), jog gautume DC=24. Taigi ordinačių ašis bus šios trapecijos simetrijos ašimi. Tada iš viršūnės B (galima ir iš A) nubrėžkime trapecijos aukštinę BH. Iš susidariusio stačiojo trikampiuko nesunkiai nustatome, jog tos aukštinės ilgis [tex]7,5\sqrt{3}[/tex], o kito statinio - [tex]7,5[/tex]. Tada nesunkiai nustatome, kad kito trapecijos pagrindo ilgis: [tex]2\cdot (12-7,5)=9[/tex]. Tačiau esmė tokia, jog dabar galime užrašyti kiekvienos viršūnės koordinates: [tex]C(12;0),\space D(-12;0),\space B(4,5;7,5\sqrt{3}),\space A(-4,5;7,5\sqrt{3})[/tex].
https://www.ematematikas.lt/upload/images/1540241128_2093.pngTarkime, kad apskritimo centras yra taške [tex](0;y)[/tex], tada turi galioti lygybė (nesvarbu kokia bus šio taško padėtis trapecijos atžvilgiu): OB=OC=OA=OD. Tačiau mums nebūtina reikalauti, jog galiotų visos šios lygybės. Pakankama imti OB=OC, o visos kitos išplauks iš simetriškumo. Taigi taikydami atstumo tarp dviejų taškų formulę, užrašome:$$OB^2=OC^2\implies (4,5-0)^2+(7,5\sqrt{3}-y)^2=(12-0)^2+(0-y)^2$$Iš čia nesunkiai gauname (lygtis net ne kvadratinė, o tiesinė!): [tex]y=\sqrt{3}[/tex]. Štai ir mūsų laukta išvada. Gavome, jog apskritimo centras yra taške [tex]O(0;\sqrt{3})[/tex], o tai reiškia, jog jis yra trapecijos viduje. Bet ar mums verta dabar spręsti šį uždavinį kaip kitaip, nei pratęsiant šio sprendimo idėją? Žinoma, kad ne. Juk mes jau turime išsireiškę, kad: [tex]R^2=OC^2=(12-0)^2+(0-y)^2=144+y^2[/tex], taigi įsistatome [tex]y=\sqrt{3}[/tex] ir gauname: [tex]R^2=OC^2=144+(\sqrt{3})^2=147=49\cdot 3\implies R=7\sqrt{3}[/tex]. Štai ir atsakymas. Pasirodo noras įrodyti vieną faktą privedė prie pačio uždavinio išsprendimo.


Na ir kai jau atrodo, kad gražiau išspręsti šio uždavinio nebeįmanoma, viską nokautuojantis paskutinis sprendimo būdas, nereikalaujantis net apskritimo centro padėties išsiaiškinimo. Tiesiog nubrėžkite kurią nors trapecijos įstrižainę, tarkime BD. Logiška manyti, jog jei apie trapeciją yra apibrėžtas apskritimas, tai jis kartu yra apibrėžtas ir apie trikampį BDC. Iš kosinusų teoremos išsiskaičiuojame kam lygu BD:$$BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot \cos ∠BCD\implies BD=21.$$ O tada dažno pamirštama pilnoji sinusų teoremos formuluotė, kuri sako, kad:$$\dfrac{BD}{\sin∠BCD}=2R\implies\dfrac{21}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R\implies R=7\sqrt{3}$$

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-10-31

0

Truputį ne į temą, bet kitos progos neradau. Tomai, norėjau paklausti: tu naudoji TikZ braižant, ar kokią nors programą?

0

Tiesiog einu adresu: https://www.desmos.com/calculator ir tiek.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-10-23

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!