Apskaičiuoti taisyklingosios trikampės piramidės tūrį

Taisyklingosios trikampės piramidės plokščiasis kampas prie viršūnės (kampas BSC) lygus 90 laipsnių, o šoninio paviršiaus plotas lygus 54 cm2. Apskaičiuokite piramidės tūrį. ABC - piramidės pagrindas. S - viršunė.

Prašau padėti, jau 3h bandau išspręst. Ačiū labai.

Panašus atvejis, kurio sprendimo brėžinys tinka ir čia:
http://www.ematematikas.lt/forumas/t7699-trikampes-piramides-sonines-briaunos-lygios-ir-statmenos.html
Kadangi iš nurodyto sprendimo žinome, jog tokia piramidė yra 1/6 kubo tūrio, nuo kurio ji nupjauta, tai belieka surasti kubo sienos AS ilgį.
Vienos sienos plotas S(ΔASB) = 1/3 S(šon. pavirš.) = 54/3 = 18 cm².
Kadangi toks statusis ΔASB = 1/2 kubo sienos, tai kubo sienos plotas S(kvadr.) = 2 * S(ΔASB) = 2*18 = 36 cm²
Iš čia kubo (ir tokios piramindės) sienos AS ilgs  6 cm.
V(piramid) = V(kub) / 6 = 6*6*6/6 = 36 cm³

dekui, bet kaip paprastai irodyti, kad piramidė yra 1/6 kubo tūrio?

Na aname sprendime parodyta kaip tai gaunasi:
- kubą (su kraštinėmis A) sudaro 1 tetraedras, kurio viršūnės sutampa su 4 kubo viršūnėmis sujungtomis per kubo sienų (kvadratų) įstrižaines, t.y pastarųjų ilgis √2*A, ir
- 4 vienodos trikampės piramidės, kurių viršūnės sutampa su likusiomis 4 kubo viršūnėmis, o pagrindai sutampa su tetraedro sienomis
Tada pagal tetraedro tūrio formulę apskaičiuoju tetraedro su kraštine √2*A tūrį - jis gaunasi 1/3*A³, reiškia 4 vienodoms piramidėms lieka 2/3*A³, padalinus po lygiai išeina 1/6*A³.
Aišku galiam buvo spręsti ieškant tokios piramidės aukštinės kuri būtų gavusis 1/3 didžiosios kubo įstirižainės (2/3 lieka tetraedrui, nes jo tųris 2 kartus didesnis nei tokiso piramidės, o jų pagrindai sutampa).

ir del ko ne 1/4?

ok dekui, man su vaizduote problema :D cia turetu buti lengvesnis sprendimas nes B lygio uzduotis bet dekui

Papaišiau tokią piramidę be kubo pagal projekcijas, žr. pav.

Žymėjimai:
a - piramidės šoninė kraštinė
b - piramidės pagrindo kraštinė
h - piramidės pagrindo (lygiakraščio trikampio) aukštinė
H - piramidės aukštis
S - piramidės pagrindo plotas
V - piramidės tūris
Skaičiujame pagal šias formules:
V = 1/3*S*H
S = b/2 * h
-- išreiškiame S per a
b = √2*a (nes statusis lygiašonis trikampis, kur a statiniai, o b įstrižainė - pusė kvardato)
h =√3/2*b (čia √3/2 yra sin60, nes pagrindas lygiakraštis trikampis)
h = √3/2*b = √3/2*√2*a = √6/2*a
S = b/2*h = √2*a/2*√6/2*a = √3*2/4*a*a = √3/2*a*a (b ir h išreiškiau per a)
-- išreiškiame H per a
H² = a²-(2/3*h)² = a²-(2/3*√3/2*√2*a)² = a²*(1-4/9*3/4*2) = a²*(1-2/3) = 1/3*a²
H = a/√3 = √3/3*a (1/3 didžiosios kubo įstrižainės)
-- skaičiuojame V per A
V = 1/3*S*H = 1/3*√3/2*a²*√3/3*a = 1/6*a³
Atsakymas toks pats, bet ar šis būdas paprstesnis - čia skonio reikalas... :)