Ar parabolės lanko ilgio ieškojimas tinkamas ir vienintelis

Sveiki. Žaidime zDoom, naudodamasis komanda, suteikiančia objektams greitį, noriu priversti objektus judėti parabolės orbita. Parabolės taškai privalo būti tolygiai pasiskirstę tam, kad judėjimas būtų labai tikslus ir pastoviu greičiu. Tai horizontalus judėjimas plokštumoje(kol kas). Pagal tris taškus randu parabolės funkciją. Sudarau lygčių sistemą, tada matricą ir išsprendžiu Kramerio metodu. Tada reikia rasti parabolės lanko ilgį pagal formulę:  [tex]L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+({f}'(x))^{2}}dx[/tex]

Tada padalinti rastą ilgį iš tarkime N dalių, įstatyti gautą ilgį į formulę ir žinant vieną rėžį rasti kitus vidinius rėžius. T.y rasti tolygiai pasiskirsčiusių taškų abscises. Tokių rėžių bus N-2.

Man reikia patį kvadratinių funkcijų integravimo metodą parašyti kodu. Tam reikia išmokti integruoti kvadratinių trinarių funkcijas kažkuriuo vieninteliu būdu.

Mano klausimas būtų kaip rasti parabolės lanko ilgį kai pagal integralų lentelę reik pasirinkti variantą. Kada taikyti kintamojo keitimo metodą? Ar būtent šį metodą? Kaip turi atrodyti pointegralinis reiškinys, kad būtų galima taikyti kintamojo keitimo metodą?

Kaip pavyzdį raskime funkcijos [tex]f(x)=x^{2}-5x+6[/tex] lanko ilgį tarp taškų x=2 ir x=3.
Pagal neapibrėžtinių integralų lentelę integralas būtų:
[tex]\int \sqrt{x^{2}\pm a^{2}}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\pm \frac{a^{2}}{2}ln\left | x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}} \right |+C[/tex]
Pirmiausiai randame funkcijos [tex]f(x)=x^{2}-5x+6[/tex] išvestinę:
[tex]{f}'(x)= {\left ( x^{2}-5x+6 \right )}'= 2x-5[/tex].
Duotos parabolės lanko ilgis tarp taškų x=2 ir x=3 yra:
[tex]L=\int_{2}^{3}\sqrt{1+\left ( 2x-5 \right )^{2}}dx= \int_{2}^{3}\sqrt{1+4x^{2}-20x+25}dx=[/tex]
[tex]=\int_{2}^{3}\sqrt{4x^{2}-20x+26}dx=\int_{2}^{3}\sqrt{4(x^{2}-5x+\frac{26}{4})}dx=[/tex]
[tex]=\int_{2}^{3}\sqrt{4(x^{2}-5x+\frac{25}{4}+\frac{1}{4})}dx=2\int_{2}^{3}\sqrt{\left ( x-\frac{5}{2} \right )^{2}+\frac{1}{4}}dx=[/tex]
[tex]=2\int_{2}^{3}\sqrt{\left ( x-\frac{5}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}}dx[/tex]

Priėjome prie vietos kurioje galima įvesti keitinį. Bet kodėl būtent dabar galima jį įsivest? Kodėl ne iš pat pradžių reiškinį 2x-5 keisti?

[tex]\left \{ x-\frac{5}{2}=t;dx=dt;\frac{1}{2}=a;t_{2}=3-\frac{5}{2}=\frac{6}{2}-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}=0,5;t_{1}=2-\frac{5}{2}=\frac{4}{2}-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}=-0,5\right \}[/tex]
[tex]2\int_{2}^{3}\sqrt{\left ( x-\frac{5}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}}dx=2\int_{-0,5}^{0,5}\sqrt{t^{2}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}}dt=[/tex]
Tada, taikydami Niutono-Leibnico formulę, apskaičiuojame lanko ilgį su keitiniu:
[tex]=2\left ( \frac{t}{2}\sqrt{t^{2}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}}+\frac{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}}{2}ln\left | t+\sqrt{t^{2}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}} \right | \right )_{-0.5}^{0.5}=[/tex]
[tex]=2\left ( \frac{t}{2}\sqrt{t^{2}+\frac{1}{4}}+\frac{1}{8}ln\left | t+\sqrt{t^{2}+\frac{1}{4}} \right | \right )_{-0.5}^{0.5}=[/tex]
[tex]=t\sqrt{t^{2}+\frac{1}{4}}+\frac{1}{4}ln\left | t+\sqrt{t^{2}+\frac{1}{4}} \right |_{-0.5}^{0.5}=[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{1}{4}}+\frac{1}{4}ln\left | \frac{1}{2}+\sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{1}{4}} \right |-[/tex]
[tex]-\left ( -\frac{1}{2}\sqrt{\left (- \frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{1}{4}}+\frac{1}{4}ln\left | -\frac{1}{2}+\sqrt{\left (- \frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{1}{4}} \right \right )=[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}+\frac{1}{4}ln\left | \frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} \right |-[/tex]
[tex]-\left ( -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}+\frac{1}{4}ln\left | -\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} \right | \right )=[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}ln\left ( \frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}} \right )-\left ( -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}ln\left (-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}} \right )\right )=[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}ln\left ( \frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}} \right )+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{1}{4}ln\left (-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}} \right )=[/tex]
[tex]= \sqrt{\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}ln\left ( \sqrt{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2} \right )-\frac{1}{4}ln\left ( \sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2} \right )=[/tex]
[tex]= \sqrt{\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}\left ( ln\left ( \sqrt{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2} \right )-ln\left ( \sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2} \right ) \right )\approx 1,1477935746963190370171490245947[/tex][tex]\approx 1,148[/tex]

Ir, jei teisingai apskaičiavau, tai būtų bene tiksliausia reikšmė, kurios man pakaktų. Ar tai tinkamas apskaičiavimas? Ar jis vienintelis? Visi prastinimai labai specifiniai, be to tam tikroje vietoje pritaikytas kintamojo keitimo metodas. Ar yra bendras ir universalus būdas kvadratinio trinario apibrėžtiniam integralui rasti, kai yra griežtos taisyklės kada įsivesti keitinį ar integruoti dalimis ar dar kaip?
Galite pasižiūrėti visą failą kuriame atlikau panašų darbą, bet aprašiau plačiau: Spausti čia Tik ten verčiau į anglų kalbą, nes ketinu paskelbti ir užsienio saituose.

EDIT: Dekui MilkHater. Po kurio laiko aprasysiu pavyzdi tavo samprotavimais. Tavo pasiulytas bendras sprendimas tiko gauti ta pati atsakyma kaip ir mano budu prastinant ir randant ilgi.

Ačiū Milkhater. Tavo būdas pakankamai geras mano taikymui.
Patvirtinu, kad diskriminantas tampa neigiamu:

[tex]L = \int_{A}^{B}\sqrt{1 + \left (f'\left ( x \right ) \right )^2}dx=\int_{A}^{B}\sqrt{4a^2x^2+4abx + 1+b^2}dx[/tex]

Iš integralo pošaknio kvadratinio trinario išraiškos kaip koeficientas a bus [tex]4a^{2}[/tex], kaip koeficientas b bus [tex]4ab[/tex], o kaip laisvas narys c bus [tex]1+b^{2}[/tex].

Diskriminatas: [tex]D=b^{2}-4ac=\left ( 4ab \right )^{2}-4\cdot 4a^{2}\left ( b^{2}+1 \right )=16a^{2}b^{2}-16a^{2}\left ( b^{2}+1 \right )=[/tex][tex]16a^{2}b^{2}-16a^{2}b^{2}-16a^{2}=-16a^{2}[/tex], t.y. su bet kokiomis a reikšmėmis neigiamas.

Pavyzdžiui mano pavyzdžio funkcijos išvestinės kvadratinio trinario diskriminantas:
[tex]4x^{2}-20x+26=0; D=\left ( -20 \right )^{2}-4\cdot 4\cdot 26=400-416=-16[/tex]
Rasiu savo sugalvotos funkcijos lanko ilgį tarp taškų 2 ir 3 pagal tavo pasiūlytą būdą:
[tex]f(x)= x^{2}-5x+6; f'\left ( x \right )= 2x-5,[/tex]
[tex]L=\int_{2}^{3}\sqrt{1+\left ( 2x-5 \right )^{2}}dx=\frac{1}{2}\int_{2}^{3}\sqrt{1+\left ( 2x-5 \right )^{2}}d\left ( 2x-5 \right )=[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\int_{2\cdot 2-5}^{2\cdot 3-5}\sqrt{1+t^{2}}dt=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\sqrt{1+t^{2}}dt=[/tex][tex]\frac{1}{2}\left ( \frac{t}{2}\sqrt{1+t^{2}}+\frac{1}{2}ln\left ( t+\sqrt{1+t^{2}} \right ) \right )|^{1}_{-1}=[/tex]
[tex]=\frac{t}{4}\sqrt{1+t^{2}}+\frac{1}{4}ln\left ( t+\sqrt{1+t^{2}} \right )|^{1}_{-1}=[/tex]
[tex]=\frac{1}{4}\sqrt{1+1^{2}}+\frac{1}{4}ln(1+\sqrt{1+1^{2}})[/tex][tex]-\left ( -\frac{1}{4}\sqrt{1+ (-1)^{2}}+\frac{1}{4}ln(-1+\sqrt{1+(-1)^{2}}) \right )=[/tex]
[tex]=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{ln(\sqrt{2}+1)}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{ln(\sqrt{2}-1)}{4}=2\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{ln(\sqrt{2}+1)}{4}-\frac{ln(\sqrt{2}-1)}{4}=[/tex]
[tex]=\frac{\sqrt{2}}2{}+\frac{ln(\sqrt{2}+1)-ln(\sqrt{2}-1)}{4}=\frac{2\sqrt{2}+ln(\sqrt{2}+1)-ln(\sqrt{2}-1)}{4}\approx 1,14779[/tex]
Patvirtink, kad teisingai paskaičiuota.

Na, o dabar kitas klausimas, - kaip rasti duotos funkcijos(šįkart parabolės) lanko ilgio tašką, kai duotas ilgis ir vienas iš taškų? Aišku tai, kad susidarys vėl kvadratinė funkcija ir bus paskaičiuotos dvi reikšmės, nes pagal kažkokią kreivę yra du taškai duotu atstumu nutolę nuo duoto taško - vienas į vieną pusę duotu atstumu pagal kreivę, kitas į kitą pusę duotu atstumu pagal kreivę.

Sakykime turime parabolės ilgį L, tašką A, o rasti reikia tašką m:
[tex]f(x)= ax^{2}+bx+c, f'(x)= 2ax+b[/tex], o parabolės ilgio skaičiavimo formulė jau rasta ir tereikia įstatyt reikšmes:
[tex]\frac{1}{2a}\left ( \frac{t}{2}\sqrt{t^{2}+1}+\frac{1}{2}ln(t+\sqrt{t^{2}+1}) \right )|^{m}_{2aA+b}=\frac{t}{4a}\sqrt{t^{2}+1}+\frac{1}{4a}ln(t+\sqrt{t^{2}+1})|^{m}_{2aA+b}=L[/tex]
, o gal aš suklydau parašydamas tašką m keitinio išraiškoje? Gal tai bus [tex]2am+b[/tex]:
[tex]\frac{1}{2a}\left ( \frac{t}{2}\sqrt{t^{2}+1}+\frac{1}{2}ln(t+\sqrt{t^{2}+1}) \right )|^{m}_{2aA+b}=\frac{t}{4a}\sqrt{t^{2}+1}+\frac{1}{4a}ln(t+\sqrt{t^{2}+1})|^{2am+b}_{2aA+b}=L[/tex]
Bandau išreikšti m iš antros išraiškos, padėkit kas galit pilnai išreikšt:
[tex]\frac{2am+b}{4a}\sqrt{(2am+b)^{2}+1}+\frac{1}{4a}ln\left ( 2am+b+\sqrt{(2am+b)^{2}+1} \right )-[/tex]
[tex]-\left ( \frac{2aA+b}{4a}\sqrt{(2aA+b)^{2}+1}+\frac{1}{4a}ln\left ( 2aA+b+\sqrt{(2aA+b)^{2}+1} \right ) \right )= L[/tex]
Iš Niutino-Leibnico formulės ten kur atimame išraišką su keitiniu [tex]2aA+b[/tex] gauname iškart skaičių, todėl nereik su juo vargti, o pažymime tiesiog raide M, kuri yra kažkoks skaičius:
[tex]M=\left ( \frac{2aA+b}{4a}\sqrt{(2aA+b)^{2}+1}+\frac{1}{4a}ln\left ( 2aA+b+\sqrt{(2aA+b)^{2}+1} \right ) \right )[/tex],
[tex]\frac{2am+b}{4a}\sqrt{(2am+b)^{2}+1}+\frac{1}{4a}ln\left ( 2am+b+\sqrt{(2am+b)^{2}+1} \right )-M=L[/tex],
[tex]\frac{2am+b}{4a}\sqrt{(2am+b)^{2}+1}+\frac{1}{4a}ln\left ( 2am+b+\sqrt{(2am+b)^{2}+1} \right )=L+M[/tex],
[tex](2am+b)\sqrt{(2am+b)^{2}+1}+ln\left( 2am+b+\sqrt{(2am+b)^{2}+1} \right )=4a(L+M)[/tex], toks jausmas, kad tas [tex]2am+b[/tex] turi pažymėtas raide, pvz n:
[tex]n\sqrt{n^{2}+1}+ln\left( n+\sqrt{n^{2}+1} \right )=4a(L+M)[/tex]
Ir kas gi dabar vyksta? Tikrų tikriausia velniava:
[tex]\sqrt{n^{4}+n^{2}}+ln\left ( n+\sqrt{n^{2}+1} \right )= 4a(L+M)[/tex]
Ką daryti toliau neįsivaizduoju. Netgi nesu tikras, kad teisingai nuvairavau išreiškimą. Ar įmanoma išreikšt tą rėžį?