Aritmetinė/Geometrinė progresija

Susidūriau su nesudėtingu uždaviniu iš mokyklos kurso, tačiau jau antra diena nepavyksta jo išspręsti.


UŽDUOTIS.
Aritmetinę progresiją sudaro trys nariai, kurių suma lygi 30. Jei iš antrojo šios progresijos nario atimtume 2, tai gauti nariai sudarytų geometrinę progresiją. Raskite pradinius aritmetinės progresijos narius.

Ats.: 4; 10; 16 arba 16; 10; 4.

aritmėtinė : a1 ; a2 ; a3
a1 + a2 + a3 =30

geometrinė: a1 ; a2-2 ; a3

[tex]\frac{a_{2}-2}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}-2}[/tex]

[tex]\begin{cases} a_{1} + a_{2} + a_{3} =30\\\frac{a_{2}-2}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}-2} \end{cases}[/tex]
[tex]a_{2}=a_{1}+d[/tex]
[tex]a_{3}=a_{1}+2d[/tex]

Tegu tie tris progresijos nariai būna a, a+d, a+2d.
a+a+d+a+2d=30
3a+3d=30
a+d=10
a=10-d
Geometrinės progresijos nariai yra a, a+d-2, a+2d. Pasinaudojam tapatybe [tex]\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{b_{n+2}}{b_{n+1}}[/tex] ir užrašom antrąją lygtį.
(a+d-2)/a=(a+2d)/(a+d-2)
Įsistatom a+d, bei a reikšmės į šią lygtį.
8/a=(10+d)/8
8/(10-d) - (10+d)/8=0
Na ir išsprendęs gausi, kad d=±6. O įsistatęs šias reikšmės į pirmąją lygtį gausi, kad a=4 ir a=16.

Ačiū! :)