eMatematikas Registruotis Ieškoti

Aritmetine progresija keli uzdaviniai

Skaičiavimai   Peržiūrų skaičius (6608)

Galit padet su keliais uzdaviniais:

1) Yra zinoma, kad aritmetines progresijos a4+a8+a12+a16=224. Raskite sios progresijos pirmuju 19 nariu suma.

2) Aritmetine progresija turi 20 nariu. Suma jos nariu, esanciu lyginesi vietose, lygi 250. Nelyginese vietose esanciu nariu suma lygi 220. Raskite desimtaji sios progresijos pirmaji nari ir skirtuma d.

3) Su kuriomis x reiksmemis skaiciai lg2, lg(2^x - 1), lg(2^x + 3) yra trys is eiles einantys aritmetines progresijos nariai? Cia reikia pirmo ir trecio nario suma padalint is 2 ane ir prilygint antram? Jei taip tai as tiesiog nesugebu isspresti lygties

0

1. [tex]a_{n}=a_{1}+(n-1)d[/tex]
[tex]a_{4}=a_{1}+(4-1)d=a_{1}+3d[/tex]
[tex]a_{16}=a_{1}+(16-1)d=a_{1}+15d[/tex]

Tada:
[tex]a_{4}+a_{8}+a_{12}+a_{16}=224[/tex]
Pagal sąvybę:  [tex]a_{4}+a_{16}=a_{8}+a_{12}[/tex]

Taigi:
[tex]a_{4}+a_{16}=\frac{224}{2}=112[/tex]

Gauname:
[tex]a_{1}+3d+a_{1}+15d=112[/tex]
[tex]2a_{1}+18d=112[/tex]
[tex]a_{1}+9d=56[/tex]
[tex]a_{1}=56-9d[/tex]

Tuomet:
[tex]S_{19}=\frac{2a_{1}+(19-1)d}{2}\cdot 19[/tex]
[tex]S_{19}=\frac{2(56-9d)+18d}{2}\cdot 19=56\cdot 19=1064[/tex]

Ats.: 1064

Paskutinį kartą atnaujinta 2016-05-18

0

Pirmą galima skaičiuoti ir taip: Aritmetinei progresijai galioja taisyklė:
[tex]a_{1}+a_{19}=a_{2}+a_{18}=a_{3}+a_{17}=...=a_{9}+a_{11}=2\cdot a_{10}[/tex]

Kadangi [tex]a_{4}+a_{16}=a_{8}+a_{12}=\frac{224}{2}=112[/tex]
O suma:
[tex]a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+...+a_{19}[/tex]
sudaryta iš 9 vienodų porų, kurių sumos lygios po 112, o 10-as narys lygus:
[tex]a_{10}=\frac{a_{4}+a_{16}}{2}=56[/tex]

Taigi:
[tex]S_{19}=9\cdot 112 + 56 = 1064[/tex]

Ats.: 1064

Paskutinį kartą atnaujinta 2016-05-18

0

2) Tarkime duotos aritmetinės progresijos n-tojo nario formulė:
[tex]a_{n}=a_{1}+(n-1)d[/tex]

Tada užrašykime dvi naujas sekas, kurios bus gautos iš duotosios sekos išrinkus tuos narius, kurių eilės numeriai yra nelyginiai ir lyginiai skaičiai.
Pirmiausiai nustatome, jog abi šios naujos sekos taip pat bus aritmetinės progresijos.
Pirmosios sekos pirmasis narys bus [tex]a_{1}[/tex]. Šios sekos skirtumas bus lygus [tex]2d[/tex]
Vadinasi šią seką galime užrašyti tokia formule:
[tex]b_{m}=a_{1}+(m-1)\cdot 2d[/tex]

Atitinkamai antrąją seką galime užrašyti taip:
[tex]c_{k}=a_{2}+(k-1)\cdot 2d[/tex]

Iš sąlygos turime kad:
[tex]S_{m}=220[/tex]
[tex]S_{k}=250[/tex]

Tuomet gauname lygčių sistemą:
[tex]\begin{cases} \frac{2a_{1}+9\cdot 2d}{2}\cdot 10=220\\\frac{2a_{2}+9\cdot 2d}{2}\cdot 10=250\end{cases}[/tex]

Iš jos gauname, kad:
[tex]a_{2}-a_{1}=3[/tex]

Kadangi [tex]a_{2}-a_{1}=d[/tex], vadinasi mes jau suradome duotosios aritmetinės progresijos skirtumą.
Grįžę prie sistemos randame [tex]a_{1}=-5[/tex]

Vadinasi aritmetinės progresijos n-tojo nario formulė yra:
[tex]a_{n}=-5+(n-1)\cdot 3[/tex]

Pasinaudoję šia formule randame [tex]a_{10}[/tex]:
[tex]a_{10}=-5+(10-1)\cdot 3=22[/tex]

0

Dėl trečio tu teisus. Greičiausiai gauni lygtį:
[tex]lg(2^{x}-1)=\frac{lg2+lg(2^{x}+3)}{2}[/tex]

Ją reikėtų persitvarkyti taip:
[tex]2lg(2^{x}-1)=lg2+lg(2^{x}+3)[/tex]

[tex]lg(2^{x}-1)^{2}=lg(2\cdot (2^{x}+3))[/tex]

Tuomet gauname:

[tex](2^{x}-1)^{2}=2\cdot (2^{x}+3)[/tex]

Pažymime [tex]t=2^{x}[/tex]

Gauname:
[tex](t-1)^{2}=2\cdot (t+3)[/tex]

Šią lygtį susitvarkę gauni kvadratinę lygtį, kurios sprendiniai:
t = -1,  t= 5. Pirmasis netinka, nes [tex]2^{x}≥0[/tex]

Taigi:
[tex]2^{x}=5[/tex]

Iš čia:
[tex]x=log_{2}5[/tex]

Ats.: [tex]x=log_{2}5[/tex]

0

ziauriai aciu!

0

Šioje temoje naujų žinučių rašymas yra išjungtas!

Matematikos testai www.ematematikas.lt/testai Pasikartok matematikos temas spręsdamas online testus!