1)Ar gali stačiojo trikampio kraštinių ilgiai sudaryti aritmetinęs progresiją?
2)Ar trikampio kraštinių ilgiai ir perimetras gali sudaryti aritmetinę progresiją?
1. Gali. Pvz. 3,4,5.
2. Negali. Irodymas: Tariam priesingai, kad gali. Pazymim trikampio krastines a, a+d, a+2d. Tada ju suma 3a+3d. Pazymim trikampio perimetra a+3d. Is pastaruju teiginiu isplaukia 3a+3d=a+3d => 2a=0 =>a=0. Gaunam priestara padarytai prielaidai.
Cia uztenka parodyti, kad egzistuoja bent vienas skaiciu trejetas toks, kad staciojo trikampio krastines sudarytu aritmetine progresija.
Na čia dviejų nežinomųjų lygčių sistema gautųsi
Ilgiai, kad būtų aritmetinė progresija turi būti: a-k, a, a+k
Pagal Pitagoro teoremą jie susiję taip: (a-k)² + a² = (a+k)² --> a² -2ak + k² + a² - a² - 2ak - k² = 0 --> a² - 4ak = a(a - 4k) = 0 --> a=0 ir a = 4k.
a=0 netinka*, o iš a = 4k seka, kad bet kuris statusis trikampis kur A = 0,75B (čia A ir B statiniai) arba A = 1,25B (čia A ir B statinis ir įstrižainė) tenkins minėtas sąlygas, t.y. visi tokie trikampiai bus panašūs į 3,4,5 trikampį.
* jei neimtume domėn "išsigimusio" trikampio, kurio visos kraštinės 0 ilgio, bet ar tai trikampis, juo labiau statusis plokštumoje... :)
1. Įrodymas
a²+b²=c²
a,b,c
c-b=b-c (-> b= a+c/2)
(c-b)²=(b-a)²
c²-2cb+b²=b²-2ba+a²
c²-a²=2(cb-ba) (-> b= a+c/2)
c²-a²=c²-a²
(Ats.: Gali)