Aritmetinės progresijos kosmosas. ;D

Aritmetinės progresijos aštuntojo ir dvyliktojo narių suma lygi 108. Raskite šios progresijos pirmųjų devyniolikos narių sumą.

Aritmetinei progresijos nariams galioja tokia taisyklė:
[tex]a_n+a_m=a_x+a_y[/tex] (jei [tex]n+m=x+y[/tex]).
[tex]a_8+a_{12}=a_1+a_{19}=a_2+a_{18}=a_3+a_{17}=a_4+a_{16}=a_5+a_{15}=a_6+a_{14}=a_7+a_{13}=a_9+a_{11}=2a_{10}[/tex]
[tex]a_{10}=54\\a_1+a_2+...+a_{10}+a_{11}+...+a_{19}=9\cdot108+54=1026[/tex]

lukasmAritmetinei progresijos nariams galioja tokia taisyklė:
[tex]a_n+a_m=a_x+a_y[/tex] (jei [tex]n+m=x+y[/tex]).
[tex]a_8+a_{12}=a_1+a_{19}=a_2+a_{18}=a_3+a_{17}=a_4+a_{16}=a_5+a_{15}=a_6+a_{14}=a_7+a_{13}=a_9+a_{11}=2a_{10}[/tex]
[tex]a_{10}=54\\a_1+a_2+...+a_{10}+a_{11}+...+a_{19}=9\cdot108+54=1026[/tex]

[tex]2a_{10}=a_8+a_{12}=108\Rightarrow a_{10}=54[/tex]

o iš kur ta paskutinė eilutė?
kur jau suma skaičiuojama?

paaiškinsiu paprastai
a8+a12=108
reikia rasti S19. sumos pagrindinė formulė yra: (a1+an)/2*n
kadangi mes nežinom an tai vietoj jo įsirašom an formulę an=a1+d(n-1)
gauname: (a1+a1+d(n-1))/2*n
sutraukiam panašius narius ir gaunam (2a1+d(n-1))/2*n
įsistatom n=19
S19=(2a1+18d)2*19=(a1+9d)*19
išsireiškiam a8+a12=108 (pagal an formulę)
a1+7d+a1+11d=108
2a1+18d=108
a1=54-9d
į sumos gautą formulę įsirašom a1
S19=(54-9d+9d)*19=1026