eMatematikas.lt
Pradžia Forumai + Nauja tema Nariai
Įrankiai
Formulės Testai Egzaminai
Prisijungti Registruotis
       

Aritmetinis, geometrinis, kvadratinis ir harmoninis vidurkis

Pakalbėkime apie vidurkius. Čia kalbėsime tik apie dviejų skaičių vidurkius.
Daugelis pažįsta tik vieną,- aritmetinį vidurkį.
Dviejų skaičių a ir b aritmetiniu vidurkiu yra vadinamas dydis

A = ( a + b) / 2.
Pavyzdžiui, skaičių 2 ir 8 aritmetinis vidurkis yra lygus 5.
Yra ir kitų vidurkių. Kvadratinis, geometrinis, harmoninis. Kas jie? Kaip gimsta? Ir...Kodėl jie vidurkiais vadinami? Apie tai paprastai "visi tyli".
Prabilkime !
1.  Dviejų teigiamų skaičių a ir b  KVADRATINIU VIDURKIU yra vadinamas toks teigiamas skaičius K, kurio kvadratas K² yra skaičių a ir b kvadratų aritmetinis vidurkis, t.y.  K² = ( a² + b²) / 2.
Pavyzdžiui, skaičių  2 ir 8 kvadratinis vidurkis yra √34, nes 34 yra skaičių 4 ir 64 aritmetinis vidurkis.
Kvadratinio vidurkio geometrinė interpretacija ( ji- ne vienintelė):
Tegu ABCD- trapecija, kurios pagrindų ilgiai AD=a, BC=b.  Jei FE yra pagrindams lygiagreti atkarpa, dalijanti trapeciją ABCD į dvi lygiaplotes trapecijas, tai atkarpos FE ilgis yra pagrindų ilgių  a ir b kvadratinis vidurkis. Pamėginkite tai įrodyti.
2.  Dviejų teigiamų skaičių a ir b GEOMETRINIU VIDURKIU yra vadinamas teigiamas skaičius G, kurio dešimtainis logaritmas yra lygus skaičių a ir b dešimtainių logaritmų aritmetiniam vidurkiui, t.y.
lgG = ( lg a + lg b) /2.
Pritaikę elementariąsias logaritmų savybes, gausime:
G² = ab, t.y. G=√(ab).
Pavyzdžiui, skaičių 2 ir 8 geometrinis vidurkis yra lygus 4.
Geometrinio vidurkio geometrinė interpretacija:
ABCD - trapecija, jos pagrindai AD=a ir BC= b. KN- pagrindams lygiagreti atkarpa, dalijanti trapeciją ABCD į trapecijas AKND ir BKNC, kurių plotų santykis lygus pagrindų AD ir BC ilgių santykiui a/b. Tuomet atkarpos KN ilgis yra pagrindų ilgių a ir b geometrinis vidurkis √(ab). Įrodykite tai.
3. Dviejų teigiamų skaičių a ir b HARMONINIU VIDURKIU yra vadinamas toks skaičius H, kuriam atvirkštinis skaičius 1/H yra lygus skaičiams a ir b atvirkštinių skaičių 1/a ir 1/b aritmetiniam vidurkiui. t.y.
1/H =  (1/a + 1/b) /2 .
Pertvarkę, gausime: H = 2ab / ( a + b).
Pavyzdžiui, skaičių 2 ir 8 harmoninis vidurkis lygus 3,2.
Harmoninio vidurkio geometrinė interpretacija: ABCD- trapecija, jos pagrindų ilgiai  AD=a, BC=b. Jei MN yra pagrindams lygiagreti atkarpa, einanti per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, tai atkarpos MN ilgis lygus pagrindų ilgių a ir b harmoniniam vidurkiui. Įrodykite tai.
Taigi, visi vidurkiai nuostabiai "atranda save" trapecijoje. Nors daugelis nutuokia tik apie pagrindų ilgių aritmetinį vidurkį, t.y. apie trapecijos vidurio liniją...
4. Pažymėję teigiamų skaičių a ir b aritmetinį vidurkį M, surašysime visus keturis vidurkius nemažėjančia tvarka:
H≤ G ≤ M ≤ K.
Uždaviniai savarankiškam darbui:
1. Dviejų teigiamų skaičių geometrinis vidurkis lygus 2, jų harmoninis vidurkis lygus  4√2/ 3.  Apskaičiuokite šių skaičių kvadratinį vidurkį.  Ats: √5.
2.  Du automobiliai tuo pat metu pajudėjo vienas priešais kitą. Pirmasis- iš vietovės A į vietovę B, antrasis- iš vietovės B į vietovę A. Iki susitikimo kelyje jie abu važiavo laiką T (val.), po susitikimo pirmajam automobiliui liko važiuoti a ( val.), antrajam- b ( val.). Įrodykite, jog T yra skaičių a ir b geometrinis vidurkis.
3. Automobilis važiavo tam tikrą kelią pirmyn greičiu a (km/val.), tą patį kelią atgal- greičiu b (km/val.). Jo vidutinis greitis visame kelyje lygus v. Įrodykite, jog v yra greičių a ir b harmoninis vidurkis.
3. Petras, dirbdamas vienas, visą darbą atliktų per a  valandų. Jonas, dirbdamas vienas, tą patį darbą atliktų per b valandų. Dirbdami abu, jie dvigubai didesnės apimties darbą atliktų per T valandų. Įrodykite, jog T yra dydžių a ir b harmoninis vidurkis.
4.  Iš apskritimo taško į skersmenį nubrėžtas statmuo. Jis dalija skersmenį į dvi atkarpas, kurių ilgiai yra a ir b. Įrodykite, kad šių ilgių geometrinis vidurkis yra lygus nubrėžto statmens ilgiui.
5.  Apskritimo stygos AB ir CD yra viena kitai statmenos. Jos kertasi taške E.
EC = EB =a, EA = ED =b.  Įrodykite, jog skaičių a ir b kvadratinis vidurkis yra lygus apskritimo spindulio ilgiui.

Paskutinį kartą atnaujinta 2015-12-23

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!