Aukštoji matematika: įrodymas remiantis aibių teorija.

Sveiki,
gal kas nors žino kaip būtų galima įrodyti? Dėkui iš anksto!
Jeigu A ⊆ δ[tex]{_f}[/tex] ir B ⊆ ρ[tex]{_f}[/tex] , tai f(A) ∩ B = ∅ <-> A ∩ f[tex]{^-}[/tex][tex]{^1}[/tex](B) = ∅

Taip, sąlygoje duota tik tokia informacija.

δf yra f-jos f apibrezimo sritis arba kitaip- aibe visu apibrezimo srities elementu, o ρf yra sios f-jos f reiksmiu sritis.

Įrodykime, kad $$f(A) ∩ B = ∅\Rightarrow A ∩ f^{-1}(B)=∅.$$ Tarkime priešingai, $$x∈A ∩ f^{-1}(B).$$ Tada $$x∈A ∧ x∈f^{-1}(B) ⊆δ_{f} \Rightarrow f(x)∈f(A)∧f(x)∈f(f^{-1}(B))=B.$$ Prieštara.
Į kitą pusę įrodoma analogiškai.

Tuomet antra dalis būtų įrodoma taip?:
Įrodykime, kad $$f(A)∩B=∅ <= A∩f{^-}{^1}(B)=∅$$
Tarkime priešingai: $$f(x)∈f(A)∩B$$ Tuomet pagal sankirtos apibrėžimą: $$f(x)∈f(A)⊆ρ{_f}∧f(x)∈B$$ Tada pagal pirmavaizdžio apibrėžimą: $$x∈A∧x∈f{^-}{^1}(B)$$
Gauname prieštarą.

Tarkime priešingai: $$f(x)∈f(A)∩B$$

O tuomet kaip reikėtų rašyti, kad būtų teisinga?

Vietoje [tex]f(x)[/tex] gali rašyti [tex]y[/tex].

Labai ačiū už pagalbą!