Didžiausio galimo tūrio ritinys.

Ritinio  viso  paviršiaus  yra  294πcm².  Didžiausias  galimas tokio ritinio tūris    :  A) 343πcm³  ,  B) 514πcm³  ,  C)686πcm³ ,  D)857πcm³.

Atsakymas: C
Sprendimas:
Tegu [tex]x[/tex]-ritinio pagrindo spindulio ilgis (cm)
[tex]y[/tex]-ritinio aukštinės ilgis (cm)
Tada ritinio paviršiaus plotas lygus:
[tex]S_{\textrm{pav.}}=2\pi xy+2\pi x^2[/tex]
Kadangi [tex]S_{\textrm{pav.}}=294\pi[/tex], gauname, kad:
[tex]2\pi xy+2\pi x^2=294\pi[/tex]
Iš čia:
[tex]2\pi xy+2\pi x^2=294\pi |:2\pi\implies xy+x^2=147 \implies xy=147-x^2\implies y=\dfrac{147-x^2}{x}[/tex]
Tuomet ritinio tūris:
[tex]V=\pi x^2y=\pi x^2\cdot \dfrac{147-x^2}{x}=\pi x(147-x^2)=\pi (147x-x^3)[/tex]
Gavome tūrio funkciją:
[tex]V(x)=\pi (147x-x^3)[/tex]
Kai [tex]x≥0,y≥0[/tex], gauname:$$\begin{cases}x≥0\\ \dfrac{147-x^2}{x}≥0 \end{cases}\implies\begin{cases}x≥0\\ 147-x^2≥0 \end{cases}\implies\begin{cases}x≥0\\ x^2≤147 \end{cases}\implies\begin{cases}x≥0\\ |x|≤\sqrt{147} \end{cases}\implies \\x∈[0;\sqrt{147}]$$
Randame: [tex]V'(x)[/tex]:
$$V'(x)=\pi(147-3x^2)=0\implies 47-3x^2=0\implies 3x^2=147|:3\implies x^2=49\implies \\x=-7\textrm{(netinka)},\space x=7\textrm{(tinka)}\\V(0)=0\\V(7)=686\pi\\V(\sqrt{147})=0$$
Ats.: [tex]686\pi\space \textrm{cm}^3[/tex]