Diferencialine lygtis, ar gerai pradejau ?

[tex]y'= x^{3} - \frac{2y}{x}[/tex]
[tex]y= xz[/tex]
[tex]dy= xdz + zdx[/tex]
[tex]xdz+zdx=x^{3} - 2z[/tex]
ksip toliau reiktu Sutvarkyt ka

Egiuxasxxx, keitinius [tex]y=xz[/tex] ir [tex]dy=xdz+zdx[/tex] reikia naudoti sprendziant pirmos eiles homogenines diferencialines lygtis (su kitais atvejais neteko susidurt).

Si lygtis yra pirmos eiles tiesine diferencialine lygtis.
Siai lygciai spresti naudosiu keitinius [tex]y=uv[/tex] ir [tex]y'=uv'+u'v[/tex].
[tex]y'=x^3-\frac{2y}{x}\Rightarrow uv'+u'v=x^3-\frac{2uv}{x}[/tex]
[tex] x(uv'+u'v)=x^4-2uv[/tex]  ;  [tex]xuv'+xu'v+2uv=x^4[/tex]
[tex]u(xv'+2v)+xu'v=x^4[/tex]
Tada parenkame reiskiniui [tex]xv'+2v[/tex] tokia v reiksme, kad lygybe [tex]xv'+2v=0[/tex] butu teisinga.
[tex]v'=\frac{-2v}{x}\Rightarrow \frac{dv}{-2v}=\frac{dx}{x}[/tex]
Integruojam: [tex]\int \frac{dv}{-2v}=\int \frac{dx}{x}\Rightarrow -\frac{1}{2}ln|v|=ln|x|\Rightarrow v=\frac{1}{x^2}[/tex]
Griztam prie pradines lygties su keitiniais ir istatom atitinkamas v' ir v reiskmes:
[tex]u*0+xu'\frac{1}{x^2}=x^4\Rightarrow u'=x^5[/tex]
[tex]u*0+xu'\frac{1}{x^2}=x^4\Rightarrow u'=x^5\Rightarrow du=x^5dx[/tex]
Integruojam: [tex]\int du=\int x^5dx\Rightarrow u=\frac{x^6}{6}+C_1[/tex]
Galiausiai isistate i lygti y=uv atitinkamas reiksmes gauname bendraji dif. lygties sprendini:[tex]y=(\frac{x^6}{6}+C_1)\frac{1}{x^2}[/tex]

Kaip atskirti homogenine nuo tiesines ir kada zinoti kokius keitinius naudoti ?

Homogenine tenkina lygybes y'=f(x,y) bei f(Lx,Ly)=L^0f(x,y)=f(x,y). Tiesine pavidalo y'+p(x)y=q(x). Kur kokius keitinius taikyt gali pasiziuret mano sprendimuose.

P.S. Nejaugi neturi konspektu arba knygu. kur butu aprasyti tokiu dif. lygciu sprendimo budai?