diferencialines lygtys ir ju bendri sprendiniai

sveiki. kankinuosi dar su dviem uzdaviniais, gal kas pagelbėtų kiek ?

x²y' = 2xy + 3
-y'' + 2y' + 2y = 2x² + 8x + 6

[tex]x^2 y'=2xy+3[/tex]

Lygtį susivedame į pavidalą:

[tex]y'+P(x)y=Q(x)[/tex]

turime

[tex]y'+\left( -\frac{2}{x}\right)y=\frac{3}{x^2}[/tex]

kur

[tex]P(x)= -\frac{2}{x},  \quad \quad  Q(x)=\frac{3}{x^2}[/tex]

naudodamiesi:

[tex]u=e^{\int P(x)dx } \\
(uy)'=uQ[/tex]

turime, kad

[tex]u=e^{\int -\frac{2}{x} dx } =\frac{1}{x^2} \\
(uy)'=uQ => (\frac{1}{x^2}y)' = \frac{1}{x^2} \frac{3}{x^2}
[/tex]
integruojame

[tex]\int (\frac{1}{x^2}y)' = \int \frac{3}{x^4}\\
\frac{y}{x^2} = -\frac{1}{x^3} +C \\
y = C x^2 - \frac{1}{x} [/tex]

Pilną teoriją galima rasti http://mathworld.wolfram.com/First-OrderOrdinaryDifferentialEquation.html.