1) [tex]f\left ( x \right )= \sin x-\frac{4}{3}[/tex] ir [tex]g\left ( x \right )= \frac{4}{3}\sin ^{4}x .[/tex] Įrodykite[tex],[/tex]kad [tex]g\left ( x \right )> f\left ( x \right ),[/tex] kai [tex]x∈\mathbb{R}[/tex] 2) Su didžiausia galima [tex]a[/tex] reikšme lygties [tex]\sin x+\sin ^{4}x= a[/tex][tex][/tex] sprendinys[tex],[/tex] kai [tex]x∈\left ( 0;π \right )[/tex] yra [tex]x= \frac{πc}{b}[/tex][tex].[/tex] Apskaičiuokite [tex]a;b;c[/tex] reikšmes[tex].[/tex]
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Tomas PRO +4529
1) [tex]f(x)=\sin x−\frac{4}{3}[/tex] ir [tex]g(x)=\frac{4}{3}\sin^4x.[/tex] Įrodykite, kad [tex]g(x)>f(x),[/tex] kai [tex]x∈\mathbb{R}[/tex]
2) Su didžiausia galima [tex]a[/tex] reikšme lygties [tex]\sin x+\sin^4x=a[/tex] sprendinys, kai [tex]x∈(0;π)[/tex] yra [tex]x=\frac{πc}{b},\space b,c∈\mathbb{N}[/tex] Apskaičiuokite [tex]a;b;c[/tex] reikšmes[tex].[/tex]
Sprendimas: [tex]f(x)=\sin x+\sin^4x,\space x∈(0;π)[/tex] [tex]f'(x)=\cos x+4\sin^3 x\cos x=\cos x(1+4\sin^3 x)\\\cos x(1+4\sin^3 x)=0\implies \cos x=0\textrm{ arba }1+4\sin^3 x=0\implies \\x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\space k∈\mathbb{Z} \textrm{ arba }\sin x=-\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\implies \\x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\space k∈\mathbb{Z} \textrm{ arba } x=(-1)^{k+1}\arcsin\sqrt[3]{\frac{1}{4}}+\pi k,\space k∈\mathbb{Z}[/tex] Kai [tex]x∈(0;π)[/tex], tai funkcija [tex]f(x)[/tex] turi vienintelį kritinį tašką: [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex]. Kai [tex]x∈(0;\frac{π}{2})[/tex], tai: [tex]f'(x)>0[/tex], kai [tex]x∈(\frac{π}{2};\pi)[/tex], tai: [tex]f'(x)<0[/tex], vadinasi funkcijos [tex]f(x)[/tex] didžiausia reikšmė intervale [tex]x∈(0;π)[/tex] yra: [tex]f(\frac{\pi}{2})=\sin(\frac{\pi}{2})+\sin^4(\frac{\pi}{2})=1+1^4=1+1=2\implies a=2.[/tex] Kai [tex]a=2,\space x∈(0;\pi)[/tex], tai lygties [tex]\sin x+\sin^4 x=2[/tex] sprendinys [tex]x=\frac{\pi}{2}\implies \frac{\pi c}{b}=\frac{\pi}{2}\implies[/tex] [tex]b=2,\space c=1[/tex], kai [tex]b,c∈\mathbb{N}[/tex]. Atsakymas: [tex]a=2,\space b=2,\space c=1.[/tex]