eMatematikas.lt
Pradžia Forumai + Nauja tema Nariai
Įrankiai
Formulės Testai Egzaminai
Prisijungti Registruotis
       

Dviguboji nelygybė, kai vardiklyje ir skaitiklyje yra nežinomieji

Užduotis ganėtinai paprasta: rasti, kurie skaičiai (iš [tex]\{-2; 0; 5\}[/tex]) yra duotosios nelygybės ([tex]-4 \leqslant \frac{2x-7}{1-x} \leqslant 3[/tex]) sprendiniai.

Man vienintelis akivaizdus sprendimo būdas būtų įsistatyti kiekvieną skaičių ir žiūrėti, ar gautas rezultatas tenkina nelygybę, tačiau neišeina nemanyti, jog yra koks kitas sprendimas. Lankiausi https://www.symbolab.com/, kur rodo, kad reikia sudaryti visų galimų ženklų lentelę ir iš ten dėliotis atsakymą, bet tai atrodo dar ilgesnis sprendimo variantas nei pirmasis.

Tai klausimas būtų toks: ar įmanoma išspręsti duotąją nelygybę kitu būdu nei nurodytais viršuje?

0

Jau bandžiau šį variantą:

[tex]\left\{\begin{matrix} \frac{2x-7}{1-x} \geqslant -4, & \\ \frac{2x-7}{1-x} \leqslant 3;& \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\frac{2x-7}{1-x} \geqslant -4 \vert \cdot (1-x)[/tex]
[tex]2x-7 \geqslant -4+4x[/tex]
[tex]-2x \geqslant 3 \vert : (-2)[/tex]
[tex]x \leqslant -1.5[/tex]

[tex]\frac{2x-7}{1-x} \leqslant 3 \vert \cdot (1-x)[/tex]
[tex]2x-7 \leqslant 3-3x[/tex]
[tex]5x \leqslant 10 \vert : 5[/tex]
[tex]x \leqslant 2[/tex]

[tex]x \in (-\infty; -1.5][/tex]

Tačiau turėtų gautis, kad [tex]x \in (-\infty; -1.5]\cup[2; +\infty)[/tex], tada [tex]x = \{-2; 5\}[/tex].

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-10-17

0

Kaip ir supratau kiek labiau išanalizavęs pateiktą sprendimą. Vadinasi, nėra trumpesnio varianto.

Aišku, dėkui.

0

Peržiūrėjau šį video: http://www.matematika.lt/burgis/algebrines-nelygybes/. Ganėtinai suprantamai viską paaiškino žmogelis. Tik man keista, jog manęs šito dalykėlio mokykloj nemokė (galbūt buvo užsiminta apie pirmąją dalį video kažkada, bet turbūt labai subtiliai, nes visiškai neužsiliko atmintyje, bet intervalo metodas tikrai dar nebuvo minėtas). Dėkui už informaciją.

0

Beje, jei kam iškils panaši problema, sprendimas toks (aišku, paprastesnis variantas būtų įsistatyti reikšmes ir taip tikrinti):

[tex]-4 \leqslant \frac{2x-7}{1-x} \leqslant 3[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix} \frac{2x-7}{1-x} \geqslant -4, & \\ \frac{2x-7}{1-x} \leqslant 3;& \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\frac{2x-7}{1-x} \geqslant -4[/tex]
[tex]\frac{-2x-3}{1-x} \geqslant 0[/tex]
[tex]\frac{x+\frac{3}{2}}{x-1} \geqslant 0[/tex]

Tada, nusibrėžę grafiką (taikydami intervalų metodą (http://www.matematika.lt/burgis/algebrines-nelygybes/)), matom, kad [tex]x \in (-\infty; -\frac{3}{2}]\cup[1; +\infty)[/tex].

[tex]\frac{2x-7}{1-x} \leqslant 3[/tex]
[tex]\frac{5x-10}{1-x} \leqslant 0[/tex]
[tex]\frac{x-2}{x-1} \geqslant 0[/tex]

Vėl, nusibrėžę grafiką, matom, kad [tex]x \in (-\infty; 1]\cup[2; +\infty)[/tex], tad vieninteliai skaičiai, kurie tenkina šias dvi priklausomybes, yra [tex]\{-2; 5\}[/tex].

0

Tik dabar pamačiau, kad užmiršau įvertinti vardiklį ([tex]x-1[/tex]) abejais atvejais.

[tex]1-x < \frac{2}{x} \leqslant x-3[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix} \frac{2}{x} > 1-x, & \\ \frac{2}{x} \leqslant x-3; & \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\frac{2}{x} > 1-x\\
\frac{x^2-x+2}{x} > 0\\
\frac{1}{x} < 0\\
x \in (-\infty; 0)[/tex]

[tex]\frac{2}{x} \leqslant x-3\\
\frac{-x^2+3x+2}{x} \leqslant 0\\
\frac{(x-\frac{3+\sqrt{17}}{2})(x+\frac{\sqrt{17}-3}{2})}{x} \geqslant 0\\
x \in [-\frac{\sqrt{17}-3}{2}; 0)\cup[\frac{3+\sqrt{17}}{2}; +\infty)[/tex]

Galutinis rezultatas (turbūt?): [tex]x \in [-\frac{\sqrt{17}-3}{2}; 0)[/tex].

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-10-18

0

Kaip ir supratau savo klaidą: ne taip interpretavau http://www.matematika.lt/burgis/algebrines-nelygybes/ (ties 8:35), kada reikia apsukti nelygybės ženklą, naikinant kvadratinį trinarį, tad [tex]\frac{1}{x} < 0[/tex] iš tikro turėjo būti [tex]\frac{1}{x} > 0[/tex]. Kaip ir (netiesiogiai) minėjai - šios klaidos galėjau išvengti, įvertindamas dviejų intervalų ([tex](-\infty; 0)[/tex] ir [tex](0; +\infty)[/tex]), kurie atsiranda 'padalijus' realiųjų skaičių ašį pusiau (kadangi, vėlgi, kaip ir minėjai, vardiklis lygus [tex]0[/tex], kai [tex]x = 0[/tex]), galimas reikšmes.

Galėjai pastebėti, kad intervalų metodas padeda nustatyti tuos intervalus, su kuriais mūsų nelygybė [tex]\frac{-x^2+x-2}{x} < 0[/tex] yra teisinga.

Pastebėjau, bet, kaip ir viršuje minėjau, įvėliau kitą klaidą.

Pasinaudojęs patarimais, manau, kad:
    • (jau ir pats taip nustatei) pirmosios nelygybės ([tex]\frac{x^2-x+2}{x} > 0[/tex]) sprendiniai yra [tex](0; +\infty)[/tex], kadangi intervalas [tex](-\infty; 0)[/tex] suteikia neigiamas reikšmes; [tex]0[/tex] - duoda neapibrėžtą reikšmę (dėl dalybos iš [tex]0[/tex]); tad tik intervalas [tex](0; +\infty)[/tex] duoda norimas - teigiamas - reikšmes;
    • antrosios nelygybės ([tex]\frac{-x^2+3x+2}{x} \leqslant 0[/tex]) sprendiniai yra [tex][\frac{3+\sqrt{17}}{2}; +\infty)[/tex], kadangi intervalas [tex](-\infty; \frac{3+\sqrt{17}}{2})[/tex] duoda teigiamas reikšmes; [tex]0[/tex] - duoda neapibrėžtą reikšmę; tad tik intervalas [tex][\frac{3+\sqrt{17}}{2}; +\infty)[/tex] duoda neigiamas reikšmes;
    • tada galutinis atsakymas būtų: [tex]x \in [\frac{3+\sqrt{17}}{2}; +\infty)[/tex].

0

Nemačiau paskutinio post'o. Smagu, kad pagaliau sutapo atsakymai. Bent patį konceptą tvirčiau įsisavinau... nors taip manau.

Dėkui už suteiktą nežmonišką pagalbą.

0

Antrosios nelygybės sprendiniai susideda iš dviejų intervalų, o ne iš vieno.

Pastebėjau, bet nebegaliu redaguoti. Yra teisingai nurodytas #12 pranešime.

0

Susiradau dar vieną nelygybę, kuri nereikalauja tiek tvarkymo, tačiau, mano manymu, patikrina žinias apie intervalo metodo pritaikymą. Jei gali, peržvelk mano išvedžiojimus.

[tex]
2(x - 7)^2 - 26 > 6x + 72\\
2(x^2 - 14x + 49) - 6x > 98\\
2x^2 - 28x + 98 - 6x > 98\\
2x^2 - 34x > 0\\
2x(x - 17) > 0
[/tex]

• Skaičių tiesėje atidedam du taškus: [tex]0[/tex] ir [tex]17[/tex], kurie gaunasi išsprendus [tex]2x(x - 17) = 0[/tex];
• Šie taškai dalija tiesę į tris intervalus: [tex](-\infty; 0)[/tex], [tex](0; 17)[/tex] ir [tex](17; +\infty)[/tex];
• Reikšmės: [tex]0[/tex] ir [tex]17[/tex], nelygybės netenkina, kadangi, kai [tex]x = 0 \lor 17[/tex], tai [tex]2x^2 - 34x = 0[/tex];
• Atrenkam, kurie intervalai tenkina nelygybę [tex]2x^2 - 34x > 0[/tex]:
      • paimam vieną reikšmę iš intervalo [tex](-\infty; 0)[/tex]: [tex]-1[/tex], ir įstatom ją į nelygybę; gaunam teigiamą rezultatą, vadinasi, šis intervalas nelygybę tenkina;
      • tada iš intervalo [tex](0; 17)[/tex]: [tex]1[/tex]; gaunam neigiamą rezultatą, vadinasi, šis intervalas nelygybės netenkina;
      • iš intervalo [tex](17; +\infty)[/tex]: [tex]18[/tex]; gaunam teigiamą rezultatą; intervalas tenkina nelygybę.
• lieka du intervalai: [tex](-\infty; 0)[/tex] ir [tex](17; +\infty)[/tex];
• galutinis rezultatas: [tex]x \in (-\infty; 0) \cup (17; +\infty)[/tex].

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-10-19

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!