Elipsės lanko ilgis

Kas blogai šiame samprotavime: "elipsės plotas yra lygus πab, jei elipsė duota lygtimi x²/a²+y²/b²=1. Plotelis tarp biški didesnės elipsės ir pradinės apytiksliai gali būti užrašyta taip:
[math]pi(a+Delta)(b+Delta)-{pi}ab=pi(a+b)Delta+{pi}{Delta}^2[/math]
deltai artėjant į nulį ir šitą reiškinį dalinant iš delta lyg ir gautųsi kad elipsės lanko ilgis yra π(a+b)."
Kiek tikrinau šitą formulę su visokiais internetiniais elipsės lanko ilgio skaičiuotuvais tai kartais panašiai gaunas, kartais - nevisai. Tačiau apskritimui šitoks samprotavims duod teisingą atsakymą.

Nėra priežasties, kodėl dalinant tą reiškinį iš deltos turėtume gauti (apytiksliai) elipsės ilgį.

Intuicija turbūt tokia: turime žiedą, perkerpame jį, ištiesiname į juostelę. Gauta juostelė bus stačiakampis, kurio viena kraštinė yra elipsės (apskritimo) ilgis, o kita - delta. Taigi plotas bus elipsės ilgis * delta, taigi padaliname iš deltos ir gauname elipsės ilgį.

Deja, tokia intuicija yra klaidinga. Visų pirma, negalime perkirpto žiedo ištiesinti į stačiakampę juostelę (nes, pavyzdžiui, jei galėtume, tai to stačiakampio dviejų kraštinių ilgis būtų elipsės ilgis, o perkirpto žiedo tik vienos kraštinės ilgis yra toks).

Su apskritimu pasiseka. Pats žiedas yra "visur storio delta" ir jis yra panašus į stačiakampę juostelę. Kuo labiau mažiname delta, tuo jis darosi panašesnis į stačiakampę juostelę, todėl padalinę iš deltos riboje gauname gerą rezultatą.

Su elipse ne taip gerai. Ta juostelė nebus "vienodo storio" (kas iš viso yra storis tokiai juostelei?), ir ji tikrai nėra "visur storio delta". Todėl nėra priežasties, kodėl padalinę iš deltos turėtume (riboje) gauti gerą rezultatą.

Žodžiu, negali tarti, kad juostelės plotas yra apytiksliai lygus elipsės ilgiui kart delta. Kai elipsė yra apskritimas, tik pasiseka, kad tai galioja. Tačiau bendru atveju lygiai tiek pat logikos būtų galvoti, kad tai yra elipsės ilgis kart pi delta arba elipsės ilgis kart pusė deltos. Tokio pobūdžio samprotavimai dažniausiai veikia tik tuomet, kai visi kampai yra statūs ir visos kreivės yra tiesės.

Apskritai idėja maždaug tokia: gali nujausti kažkokio dydžio eilę (t.y. kad priklausomybė yra tiesinė), bet ne konkrečią priklausomybę (t.y. nežinai kokio nors pastovaus daugiklio (konstantos)). Jeigu naudotume tik skirtumus, būtų nesvarbu, nes 1 - x artėja į 1, kai x artėja į 0, ir taip pat 1 - 20000x artėja į 1, kai x artėja į 0. Tačiau čia naudojame santykį. O jau 2x / x artėja į  2, kai x artėja į 0, tačiau 2x / 20000x artėja į 1/10000, taigi konstanta pasidaro svarbi. Konkrečiai šiame uždavinyje tu žinojai, kad tas plotas yra eilės elipsės ilgis * delta, tačiau nežinojai konstantos, iš kurios dar reikia padauginti.

Gal but reiktu uzrasyti sitaip
pi(a+dx)(b+dy(x))-pi*ab.
Apskritimui naudojamos poliarines koordinates
dS=2pi*rdr, kadangi nepriklauso nuo kampo. Dekartinese apskritimo
ivairios apskritimo israiskos butu sudetingos.
Gal elipse reiktu uzrasyti poliarinese koordinatese, bet butu priklausomybe nuo kampo,
nebutu labai paprasta.

Tai bent, per šimtą metų nebūčiau sugalvojęs ;] buvau šventai įsitikinęs kad tas delta visur vienods

Beje, verta paminėti, kad elipsės ilgio neįmanoma išreiškti per elementarias funkcijas. Yra atskira funkcija, kuri beveik ir apibrėžta kaip elipsės ilgis. Taigi nepavyks apskaičiuoti elipsės ilgio bendru atveju (t.y. negausime uždaros išraiškos jam), kad ir kaip gudriai mėgintume.

Ar elipses ilgis skaiciuojasi taip:
L=2*integralas(-a,a)√(1+(dy/dx)^2)dx ?

Taip, bet kokios kreivės y(x) ilgis taip skaičiuojamas. Šiek tiek bendresniu atveju, jei turi kreivę (x(t), y(t)), kai a ≤ t ≤ b, jos ilgis yra ∫_{a≤t≤b} √( (x')^2 + (y')^2 ) dt.

Jei elipse uzduoti parametriskai
x=a*cos(t)
y=b*sin(t),
tai elipses ilgis
L=2*∫(0,pi)√((a*sin(t))^2+(b*cos(t))^2)dt,
kadangi a≠b, tai integralas, matyt, paprastai nesiskaiciuoja.