Funkcija ir apibrėžtinis integralas

[tex]Pasinaudodami[/tex] funkcija [tex]f(x)= \sqrt{\left ( x+2 \right )\cdot x}.[/tex]    [tex]x≥0.[/tex] Apskaičiuokite [tex]:[/tex] [tex]\int_{0}^{2}\left ( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}}+\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x}} \right )dx.[/tex]
Apskaičiuokite [tex]a,[/tex] kai  [tex]\int_{0}^{a}\sqrt[3]{\left ( ax \right )}dx= a.[/tex]      [tex]a>0[/tex]

[tex]f\left ( x \right )= \sqrt{\left ( x+2 \right )x}.[/tex] [tex]=[/tex][tex]\sqrt{\left ( x+2 \right )}\cdot \sqrt{x}.[/tex]      [tex]f{}'\left ( x \right )= \frac{1}{2}\left ( \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x}} +\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}}\right )[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]2\int_{0}^{2}f{}'\left ( x \right )dx= 2f\left ( x \right )|_0^{2}=[/tex][tex]2\sqrt{\left ( x+2 \right )\cdot x}|_0^{2}[/tex][tex]= 2\sqrt{8}[/tex]
[tex]\int_{0}^{a}\sqrt[3]{\left ( ax \right )}dx= \int_{0}^{a}\left ( \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{x} \right )dx= \sqrt[3]{a}\int_{0}^{a}\sqrt[3]{x}dx=[/tex][tex]\sqrt[3]{a}\cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}|_0^{a}[/tex][tex]=a^{\frac{1}{3}}\cdot \frac{a^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}= a[/tex]
[tex]\frac{3}{4}a^{\frac{5}{3}}= a\Rightarrow a^{\frac{2}{3}}= \frac{4}{3}[/tex][tex][/tex][tex]\Rightarrow a= \left ( \frac{4}{3} \right )^{\frac{3}{2}}[/tex][tex]= \frac{8\sqrt{3}}{9}[/tex]