Funkcija, išvestinė, pirmykštė funkcija

[tex]1)[/tex] [tex]f\left ( x \right ) + f{}'\left ( x \right )=x[/tex]    Apskaičiuokite    [tex]f(0)[/tex]
[tex]2)[/tex]  Įrodykite[tex],[/tex] kad  [tex]\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\left ( x\cdot \cos x+1 \right )dx= π[/tex]
[tex]3)[/tex] Apskaičiuokite [tex]didžiausią [/tex]  [tex]vertikalų[/tex] atstumą tarp funkcijų [tex]f\left ( x \right )= \sin x[/tex] ir [tex]g\left ( x \right )= \cos x[/tex]
grafikų  taškų[tex], [/tex] kai [tex]x∈\left [\frac{π}{2};\frac{5}{4}π \right ][/tex]

Sprendimas [tex]1)[/tex] [tex]f(x)=ax+b,[/tex]  [tex]f{}'\left ( x \right )= a[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]  [tex]ax+b+a=x  \Rightarrow[/tex][tex]\begin{cases} a= 1 & \text{ } \\ a+b= 0 & \text{ } \end{cases}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{cases} a= 1 & \text{ } \\ b= -1 & \text{ } \end{cases}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] [tex]f\left ( x \right )= x-1[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]f\left ( 0 \right )= -1[/tex]
[tex]2) [/tex]  [tex][/tex][tex]\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\left ( x\cdot cosx+1 \right )dx[/tex][tex]=[/tex][tex]\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}xcosx+\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}dx[/tex]  [tex]= 0+x|_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}[/tex][tex]= \frac{π}{2}-\left ( -\frac{π}{2} \right )= π[/tex]
( Funkcija  [tex]f\left ( x \right )= xcosx[/tex]  yra [tex]nelyginė[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}xcosxdx= 0[/tex])

Tegul atstumas  yra  [tex]d(x)[/tex]  [tex]d(x)=sinx+(-cosx)=sinx-cosx[/tex]    [tex]d{}'\left ( x \right )= cosx+sinx[/tex]
[tex]d{}'\left ( x \right )= 0\Rightarrow sinx+cosx= 0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]tgx= -1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]x= -\frac{π}{4}+πn,n∈Z.[/tex] [tex]x= \frac{3}{4}π[/tex]
(  [tex]x∈[-\frac{π}{2};\frac{5}{4}π][/tex]  ) [tex]d\left ( -\frac{a}{2} \right )= sin\left ( -\frac{π}{2} \right )-cos\left ( -\frac{π}{2} \right )[/tex][tex]= -1+1= 0.d\left( \frac{3}{4}π \right )= sin\left ( \frac{3}{4}π \right )-[/tex]
[tex]-[/tex][tex]cos\left ( \frac{3}{4}π\right )[/tex][tex]= \frac{\sqrt{2}}{2}-\left ( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right )= \sqrt{2}.[/tex]  [tex]d\left ( \frac{5}{4}π \right )= sin\left ( \frac{5}{4}π \right )-cos\left ( \frac{5}{4}π \right )[/tex][tex]= -\frac{\sqrt{2}}{2}-\left ( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right )[/tex][tex]=[/tex]
[tex]=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]  [tex]max_{[-\frac{π}{2};\frac{5}{4}π]}f\left ( x \right )= \sqrt{2}[/tex]









 









[tex][/tex]