Funkcijos didžiausia reikšmė

1. Raskite funkcijos f(x) = x³ - 2x² - 4x + 2 didžiausią reikšmę intervale [1;3].
2. Duota lygtis  2cos(2x) = -1
      1. Raskite lygties sprendinius.
      2. Kiek lygties sprendini7 priklauso intervalui (-π; 2π)
3. Funkcijos f(x) = x³ grafiką kerta tiesė y=8 taške A.
      1. Raskite tiesės OA pasvirimo i Ox ašį  kampo alfa tangentą.

Prašau padėkite, nes šių uždavinių nesuprantu. Norėčiau, kad padėtumėte ir paaiškintumėte, kad suprasčiau viską, o ne tik, kad nusirašyčiau. :)

1.  Funkcijos didžiausioms ir mažiausioms reikšmėms rast kiek aš žinau naudojamos išvestinės (jei žinoma iškarto nesimato kur tos reikšmės yra). Funkcijos išvestinės apibėžimas yra toks:

[math]lim{Delta{x}right{0}}{{f(x+Delta{x})-f(x)}/{Delta{x}}}=df/dx[/math]
[ho ho.. veikia ;D]
Tai yra funkcijos pokyčio santykis su argumento pokyčiu, šiam artėjant į nulį. Kaip turbūt matyti iš formulės funkcijai didėjant, jos išvestinė teigiama, o mažėjant - neigiama. taigi tarpe tarp mažėjimo ir didėjimo yra toks taškas kur išvestinė lygi nuliui. Tame taške funkcija pereina iš didėjimo į mažėjimą (arba atvirkščiai), tad jame gali būti funkcijos maksimali arba minimali vertė. Kad žinot ar maksimali ar minimali vertė, tame taške kur išvestinė lygi nuliui galima paskaičiuot antrąją išvestinę, jei jos ženklas neigiamas - tai maksimumo taškas, jei teigiamas - minimumas.
Tavo funkcijos išvestinę gali rasti pagal tą formulę kurią parašiau, arba iš išvestinių lentelės (jei duodamas toks dalykas):

[math]df/dx=3x^2-4x-4[/math]

Šitą reiškinį prilyginam nuliui ir sprendžiam kvadratinę lygtį (kad rasti tokius iksus, su kuriais išvestinė lygi nuliui). Tai kvadratinė lygtis, kurios sprendiniai, užrašius bendrą pavidalą taip :
[math]ax^2+bx+c[/math]
yra du:
[math]x_1={-b+{sqrt{b^2-4ac}}}/{2a}[/math]
[math]x_2={-b-{sqrt{b^2-4ac}}}/{2a}[/math]
man gaunasi:
[math]x_1=-2/3[/math]
[math]x_2=2[/math]
pirmasis iškrenta iš uždavinio sąlygoje nurodyto intervalo, o antrasis lyg ir tinka. tereikia sužinoti maksimumas tai ar minimumas:
[math]{d^2f}/dx^2=6x-4[/math]
įstatom 2 vietoje x ira gaunasi 2. Teigiamas, reiškia x=2 yra minimumo taškas. O visi taškai aplink jį, bent jau intervale nuo 1 iki 3 duos didesnes pradinės funkcijos reikšmes. Ar maksimumas bus taške x=1 ar taške x=2 galima sužinoti tiesiog įstačius šias reikšmes į pradinę funkciją:
f(1)=1³-2*1²-4*1+2=-3
f(3)=3³-2*3²-4*3+2=-1
Tad didžiausia bus taške x=3.

Tik baigdamas ra6yt pastebėjau kad reik tik didžiausios reikšmės ;] tai greičiausiai čia per daug privėliau rašliavos ;]

2. Nežinau ;]
nemoku užrašyt bendro sprendinio pavidalo
kadangi kosinuso  grafikas atrodo taip:

o cos(2x) galima taip įsivaizduot tik padaro x ašį dvigubai tankesnę, tai užrenka sužnoti kiek kartų kerta y=-1/2 liniją cos(x) ir padauginti iš dviejų: tai lyg ir 6 kartus ;]

3.

tan(alfa)=y/x [toks apibrėžimas]
[math]x=8^{1/3}[/math]
x=2
tan(alfa)=8/2=4

3.

labai labai dėkoju, kad taip išsamiai paaiškinote :) tik jei galite gal galite paaiškinti kaip ten ant to 3 uždavinio gavote 8 viena trečioji?
ir dar jei galite gal galėtumėte padėti du uždavinius padaryti?
1. Paveiksle pavaizduotas kūgio formos 8l talpos indas iki pusės pripildytas vandens. kiek litrų vandens jame yra? http://www.ipix.lt/images/45415645.jpg
2. Paveiksle pavaizduotas skritulys su centru O ir 8cm spinduliu. Kampo MOH didumas lygus 60 laipsnių. Paskite užbrūkšniuotos figūros plotą. Laikykite, kad π=3,14. Atsakymą pateikite kvadratiniais centimetrais suapvalinę iki dešimtųjų dalių. http://www.ipix.lt/images/59400302.jpg

nu jeigu dar ne šaukštai po pietų tai:
1) kūgio tūris
[math]V=1/{3}{pi}R^2h[/math]
čia R pagrindo spindulys, h - kūgio aukštis.
sąlygoje duota V = 8 [litrai], tai
[math]V=1/{3}{pi}R^2h=8[/math]
tame paveikslėlyje kur įdėjai, matosi kad galioja (bent jau turėtų galioti ;] ) toks santykis:
[math]R/h=R_1/{h/2}[/math]
čia R1 spindulys per pusę h. Iš čia:
[math]R_1=R/2[/math]
įstatai r1 ir h/2 į tūrio formulę, ir pažymėjus V1 kaip turį kūgio su h/2:
[math]V_1=1/{3}{pi}{R_1}^2h/2[/math]
[math]V_1=1/{3}{pi}{(R/2)}^2h/2[/math]
[math]V_1=1/8(1/{3}{pi}R^2h)[/math]
[math]V_1=1/8V[/math]
tad tūris aukščiui sumažejus pusiau sumažėja aštuonis kartus, ir atsakymas V1=V/8=8/8=1 [litras]

2. radau interneta kad daktaras matematika siūlo tokią formulę [http://mathforum.org/dr.math/faq/formulas/faq.circle.html]:
[math]K=r^2/2[s/r-sin{s/R}][/math]
K tai tos dalies plotas, visa kita:

s = pi/3*r [bo pi/3=60 laipsniu]
s/r = pi/3
tai tereikia skaičius įrašyt

dar kartą norėčiau paprašyti Jūsų pagalbos, bet bijau įkirėti. Ruošiuosi kontroliniui, kuris bus pirmadienį, ir noriu viską išmokti, suprasti todėl dar norėčiau, kad paaiškintumėte uždavius man nesuprantamus. labai Jums dėkoju už pagalbą. Jie galite padėkite spręsti 6,7,8,10,12,13 uždavinius. Čia keletą jau paaiškinote, bet atsakymai nesutampa tai gal aš kokią klaidą įvėliau... Įdėsiu ir atsakymus, kad Jums lengviau būtų :) http://www.ipix.lt/images/46667301.jpg
http://www.ipix.lt/images/47865003.jpg
http://www.ipix.lt/images/85464170.jpg

nu aš įtariu kad 6 uždavinio atsakymas neteisingas duotas ;] nes kaip beskaičiavau man vis gaunasi ne 6,8 cm² o 5,8 cm².
7. funkcijos y=x³-6x²+5 mažėjimo intervalas:
nežinau kaip protingai daryt tokį ;] aš tai rasčiau funkcijos ekstremumus ir tada jau turėtų būti aišku kur ji mažėja, kur didėja.
y' = 3x²-12x = 3x(x-4)
bus lygu nuliui kai x=0 ir x=4
y'' = 6x-6
y''(x=0)=-6
y''(x=4)=18
tad x=0 funkcijos maksimumas, o x=3 minimumas, reiškia tarp šių reiksmių ir mažėja, ats (0, 4)

padėkit išspręsti, niekaip nesuprantu... TIESINĖS FUNKCIJOS REIKŠMĖS: f(-1)=3  ir  f(3)=-5
a) Kodėl                                f(8)-f(3)    f(3)-f(-1)
(cia kaip trupmena)              ---------  = -----------  ?            b) raskite f(8)
                                                8-3          3- (-1)