Funkcijos išvestinės reikšmė dutame taške

Apskaičiuokite  [tex]f{}'\left ( 0 \right )[/tex] [tex],[/tex] kai  [tex]2^{f\left ( x \right )}= f\left ( x \right )\cdot \sin x[/tex][tex]+2[/tex] [tex].[/tex]

Atsakymas: [tex]f{}'\left ( 0 \right )= \frac{1}{\ln 4}[/tex]

Sprendimas: [tex]\left ( 2^{f\left ( x \right )} \right ){}'=[/tex][tex]\left ( f\left ( x \right )\sin x +2\right ){}'[/tex] [tex];[/tex]  [tex]2^{f\left ( x \right )}\cdot \ln 2\cdot f{}'\left ( x \right )=[/tex][tex]f{}'\left ( x \right )\cdot \sin x+f\left ( x \right )\cdot \cos x ;[/tex]
[tex][/tex][tex]2[/tex][tex]^{f\left ( 0 \right )}[/tex][tex]= f\left ( 0\ \right )\cdot \sin 0+2[/tex] [tex];[/tex]  [tex]2^{f\left ( 0 \right )}= 2 ;  [/tex]  [tex]f\left ( 0 \right )= 1[/tex] [tex];  [/tex]  [tex]2^{f\left ( 0 \right )}\cdot \ln 2\cdot f{}'{\left ( 0 \right )}=[/tex][tex]f{}'\left ( 0 \right )[/tex][tex]\cdot \sin 0[/tex][tex]+f\left ( 0 \right )\cdot \cos 0[/tex][tex];[/tex] [tex]2\ln 2[/tex][tex]\cdot f{}\left ( 0 \right )'[/tex][tex]= 1[/tex][tex];[/tex]  [tex]f{}'\left ( 0 \right )=[/tex][tex]\frac{1}{2\ln 2}[/tex][tex][/tex][tex]= \frac{1}{\ln 4}[/tex]