eMatematikas.lt
Pradžia Forumai + Nauja tema Nariai
Įrankiai
Formulės Testai Egzaminai
Prisijungti Registruotis
       

Funkcijos reikšmių srities radimas

Bendru atveju funkcijos f(x) reikšmių sritį randame, remdamiesi šios funkcijos grafiku, projektuodami jį į Oy ašį.
PAVYZDYS:  f(x) = 8 + 4x - x²

Kvadratinės funkcijos grafiką,- parabolę, nubrėžti moka bene kiekvienas moksleivis.
Parabolės viršūnės abscisę randame principu ( - b/2a), arba prilygindami nuliui funkcijos išvestinę 4 - 2x.
Taigi, parabolės viršūnės abscisė yra 2, jos ordinatė f(2) = 12.
Parabolės viršūnė V(2, 12).
Kadangi parabolės šakos yra nukreiptos žemyn, tai funkcijos reikšmių sritis:
E(f) : y∈ ( -∞; 12 ].
Tačiau ne visada būna lengva nusibrėžti funkcijos grafiką. Todėl panagrinėsime dar vieną funkcijos reikšmių srities radimo būdą.
ESMĖ:  Kad rastume funkcijos f(x) reikšmių sritį, sudarome lygtį
            f(x) = y,
ir ieškome, su kokiomis parametro y reikšmėmis ši lygtis turi sprendinių.
Kitaip tariant, šis funkcijos reikšmių srities radimo būdas yra pagrįstas lygties su parametru tyrimu.
Pavyzdys:  Kad įsitikintume, jog "metodas veikia", panagrinėsime ankstesniojo pavyzdžio funkciją f(x) = 8 + 2x - x².
Taigi, sudarome lygtį
8 +2x - x² = y,
ir ieškome, su kokiomis parametro y reikšmėmis lygtis turi sprendinių.
Lygtį rašome trinarės kvadratinės lygties pavidalu:
x² - 4x + ( y - 8) = 0.
Lygtis turi sprendinių, kai jos diskriminantas nėra neigiamas, t.y.
D = 16 - 4 ( y - 8) ≥0.
Išsprendę šią nelygybę, gausime y ≤ 12,
t.y., spręsdami šiuo būdu, gauname tą patį atsakymą y∈ (-∞ ; 12 ].
PAVYZDYS: Rasime funkcijos
f(x) = 9 x / ( x² + 4) 
reikšmių sritį.
Sprendimas:  Tiriame lygtį 9 x / ( x² + 4) = y.
Lygtį keičiame jai ekvivalenčia lygtimi
y x² - 9 x + 4y = 0.
Ši lygtis ( išskyrus atvejį y = 0 ) yra trinarė kvadratinė lygtis. Ji turi sprendinių, kai jos diskrimiantas D =81 - 16 y² ≥ 0.
Šios nelygybės sprendinių aibė y ∈ [ - 9 /4 ; 9/4 ].
Atvejis y=0 nieko nekeičia, nes lygtis  - 9x =0 sprendinį turi, tad y=0 iš intervalo pašalinti nereikia.
Atsakymas: E(f): y∈ [ - 9/4 ; 9/4 ]
PAVYZDYS:  Rasime funkcijos
f(x) = sinx / ( 2 sinx - 1)
reikšmių sritį.
Sprendimas: Ir vėl tiriame, su kokiomis parametro y reikšmėmis lygtis
sinx / ( 2 sinx - 1) = y   
turi sprendinių.
Išsprendę lygtį sinuso atžvilgiu, gausime klasikinę trigonometrinę lygtį
sin x = y / ( 2y - 1),
turinčią sprendinių, kai
y / ( 2y - 1) ≤ 1, ir
y / ( 2y - 1) ≥ - 1.
Išsprendę šią nelygybių sistemą, gausime atsakymą:
E(f) :  y∈ ( - ∞ ; 1/3 ]∪ [ 1 ; +∞)
PAVYZDYS:
Raskime min ( x y + y²) bei max ( x y + y²), jei kintamieji x ir y tenkina sąlygą
x² - 2 x y + 2 y² = 4.
Sprendimas:  Nagrinėsime lygčių sistemą su kintamaisiais x ; y ir parametru z :
x y + y² = z,
x² - 2 x y + 2y² = 4..
Padauginę pirmosios lygties abi puses iš ( - 4), o antrosios - iš z, bei sudėję gautąsias lygtis, eliminuojame laisvuosius narius, ir gauname lygtį su dviem kintamaisiais, kurios visi nariai yra vienodo ( šiuo atveju- antrojo) laipsnio ( tokios lygtys yra vadinamos homogeninėmis) :
z x² - ( 2z + 4) x y + ( 2 z - 4) y² = 0.
Padalinę abi puses iš y², ir pasitelkę keitinį t = x /y, gausime trinarę kvadratinę lygtį su kintamuoju t ir parametru z :
z t² - ( 2 z + 4 ) t  + ( 2 z - 4) = 0.
Ši lygtis turi sprendinių, kai
D= ( 2 z + 4)² - 4 z ( 2z - 4) ≥ 0.
Šios nelygybės sprendinių aibė yra intervalas z ∈ [ 4 - 2√5; 4+2√5].
Atskirai patikrinę atvejį y=0 ( nes buvo dalinta iš y² ), matome, jog tuomet
z = 0 , ir šiam intervalui priklauso.
Taigi,
Atsakymas: min ( xy +y²)=4 - 2√5; max(xy +y²) = 4 +2√5.
PAVYZDYS: Prie pastato sienos reikia iš trijų pusių aptverti stačiakampį sklypą, kurio plotas 288 m². Raskite mažiausiąją tvoros ilgio reikšmę.
Sprendimas:  Stačiakampio sklypo plotis x, ilgis ( išilgai sienos) y.
Modelis:  z = 2 x + y (tvoros ilgis) siekia minimumo, kai xy = 288.
Kadangi y = z - 2x, tai
x ( z - 2x) = 288.
Šią lygtį nagrinėsime kaip lygtį su kintamuoju x ir parametru z:
2 x² - z x + 288 = 0.
Ieškome TEIGIAMŲ parametro z reikšmių, su kuriomis ši ( trinarė kvadratinė) lygtis turi sprendinių:
D= z² - 2304 ≥0
Gauname: z ≥ 48. Taigi, min z = 48.
Atsakymas:  48 m

1

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!