Funkcijų dalmens/sandaugos išvestinės formulės išvedimas
mythelis +4
Sveiki,
Taigi kaip matote iš temos pavadinimo, labai reikia funkcijų dalmens bei sandaugos išvestinių formulių išvedimo. Bandžiau išvedinėti pats, bet visiškai nesigaudau, neįsivaizduoju net nuo ko pradėti. Bandžiau ieškoti informacijos internete, bet konkrečiai nieko neradau. Žinau visus sinuso, kosinuso, natūrinio logaritmo išvestinių išvedimus (per [tex]\frac{\Delta y}{\Delta x}[/tex]), bet norimų dalmens/sandaugos nežinau kaip gauti. Galbūt kas nors turite kur nors pasirašę, ar tiesiog galite paaiškinti kaip reikia prie to prieiti?
Ačiū.
Tomas PRO +4543
Turime funkcijas [tex]u(x)[/tex] ir [tex]v(x)[/tex]. Žinome, jog funkcijos [tex]f(x)[/tex] išvestinė taške [tex]x_0[/tex] yra apibrėžiama taip: $$f'(x_0)=\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δf(x_0)}{Δx}=\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx}$$ Kai [tex]f(x)=u(x)\cdot v(x)[/tex] tada: [tex]f(x_0+Δx)=u(x_0+Δx)\cdot v(x_0+Δx)[/tex] [tex]f(x_0)=u(x_0)\cdot v(x_0)[/tex] $$f'(x_0)=\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{u(x_0+Δx)\cdot v(x_0+Δx)-u(x_0)\cdot v(x_0)}{Δx}$$ Tuo tarpu: [tex]Δu(x_0)=u(x_0+Δx)-u(x_0)\iff u(x_0+Δx)=u(x_0)+Δu(x_0)[/tex] [tex]Δv(x_0)=v(x_0+Δx)-v(x_0)\iff v(x_0+Δx)=v(x_0)+Δv(x_0)[/tex] Vadinasi: $$f'(x_0)=\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{\left(u(x_0)+Δu(x_0)\right)\cdot \left(v(x_0)+Δv(x_0)\right)-u(x_0)\cdot v(x_0)}{Δx}$$ Atskliaudę skaitiklyje esantį reiškinį ir sutraukę panašiuosius narius, turime, kad: $$f'(x_0)=\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{u(x_0)Δv(x_0)+v(x_0)Δu(x_0)+Δu(x_0)Δv(x_0)}{Δx}=\\=\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{u(x_0)Δv(x_0)}{Δx}+\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{v(x_0)Δu(x_0)}{Δx}+\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δu(x_0)Δv(x_0)}{Δx}=\\=u(x_0)\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δv(x_0)}{Δx}+v(x_0)\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δu(x_0)}{Δx}+\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δu(x_0)}{Δx}\cdot \lim\limits_{Δx\to 0}Δv(x_0)$$ [tex]\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δv(x_0)}{Δx}=v'(x_0)[/tex], [tex]\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δu(x_0)}{Δx}=u'(x_0)[/tex], [tex]\lim\limits_{Δx\to 0}Δv(x_0)=0[/tex] Taigi: $$f'(x_0)=u(x_0)\cdot v'(x_0)+v(x_0)\cdot u'(x_0)+u'(x_0)\cdot 0$$ Vadinasi: $$\left(u(x_0)v(x_0)\right)'=u'(x_0)\cdot v(x_0)+v'(x_0)\cdot u(x_0)$$
Pamėgink pats įrodyti dalmens išvestinę.
pakeista prieš 6 m
mythelis +4
Ačiū Jums už atsakymą. Bandžiau taikant Jūsų pavyzdį padaryti ir dalmens išvedimą, tai priėjau prie tokios vietos ir norėčiau paklausti ar po kol kas gerai darau:
Tai va, dabar jeigu tinkama linkme einu, ką reikėtų šiuo metu daryti, nes kaip ir nelabai kas prastinasi.
Tomas PRO +4543
Manyčiau esi padaręs kažkokią klaidą, nes iš to ką gavai nelabai išeitų reikiamas atsakymas. Kaip žinia vardiklyje turi gautis [tex]v^2(x)[/tex], nors skaitiklis gautas gerai.
Tomas PRO +4543
Pateiksiu ir dalmens išvestinės įrodymą: Kai [tex]f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}[/tex], tai: [tex]f(x_0)=\dfrac{u(x_0)}{v(x_0)}[/tex] ir [tex]f(x_0+Δx)=\dfrac{u(x_0+Δx)}{v(x_0+Δx)}=\dfrac{u(x_0)+Δu(x_0)}{v(x_0)+Δv(x_0)}[/tex] Tada: [tex]f'(x_0)=\left(\dfrac{u(x_0)}{v(x_0)}\right)'=\lim\limits_{Δx\to 0}\dfrac{\frac{u(x_0)+Δu(x_0)}{v(x_0)+Δv(x_0)}-\frac{u(x_0)}{v(x_0)}}{Δx}=\lim\limits_{Δx\to 0}\dfrac{\frac{v(x_0)(u(x_0)+Δu(x_0))-u(x_0)(v(x_0)+Δv(x_0))}{v(x_0)\left(v(x_0)+Δv(x_0)\right)}}{Δx}=\\=\lim\limits_{Δx\to 0}\dfrac{\frac{v(x_0)Δu(x_0)-u(x_0)Δv(x_0)}{v(x_0)\left(v(x_0)+Δv(x_0)\right)}}{Δx}=\lim\limits_{Δx\to 0}\left(\frac{1}{v(x_0)\left(v(x_0)+Δv(x_0)\right)}\cdot \frac{v(x_0)Δu(x_0)-u(x_0)Δv(x_0)}{Δx}\right)=\\=\frac{1}{v(x_0)\left(v(x_0)+0\right)}\cdot \lim\limits_{Δx\to 0}\frac{v(x_0)Δu(x_0)-u(x_0)Δv(x_0)}{Δx}=\frac{1}{v^2(x_0)}\cdot \lim\limits_{Δx\to 0}\left(v(x_0)\frac{Δu(x_0)}{Δx}-u(x_0)\frac{Δv(x_0)}{Δx}\right)=\\=\dfrac{u'(x_0)v(x_0)-v'(x_0)u(x_0)}{v^2(x_0)} [/tex]
lelius +976
Nelabai aiški prasmė išradinėti ratą du kartus. Turėdami sandaugos išvestinę [tex](f(x)g(x))'[/tex] turime kartu ir dalmens išvestinę: [tex]g(x)=\frac{1}{h(x)}[/tex], [tex](f(x)g(x))'=(\frac{f(x)}{h(x)})'[/tex]
pakeista prieš 6 m
Tomas PRO +4543
Taip, puikiai suprantu, jog dalybą galima pakeisti daugyba iš atvirkštinio dydžio (rodos tą žino ir septintokai), bet problema tame, jog tuomet turime laikyti, jog iš kažkur žinome, kad [tex]\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}[/tex] bei kaip skaičiuojama sudėtinės funkcijos išvestinė.