Tarkime, kad x_1,x_2,x_3,…,x_100 yra neneigiamų realiųjų skaičių rinkinys. Tada, kiekvienam i=1,2,…,100 yra teisinga nelygybė x_i+x_(i+1)+x_(i+2)≤1 (čia laikysime, kad x_101=x_1 ir x_102=x_2). Raskite, kokią maksimalią reikšme gali įgyti reiškinys S=∑_(i=1)^100▒〖x_i x_(i+2) 〗. Raskite tokį skaičių x_1,x_2,x_3,…,x_100 rinkinį, kad S=100/9 Raskite tokį skaičių x_1,x_2,x_3,…,x_100 rinkinį, kad S=25/2 Įrodykite, kad kiekvienam i=1,2,…,100 yra teisinga nelygybė x_i x_(i+2)+x_(i+1) x_(i+3)≤1/2 Užbaikite uždavinio sprendimą įrodydami, kad S≤25/2
DEMO +1000
1) Kai [tex]x_1=x_2=\ldots=x_{100}=\frac{1}{3}[/tex], tai [tex]S=\frac{100}{9}[/tex]. 2) Kai [tex]x_1=x_3=x_5=\ldots=x_{99}=\frac{1}{2}[/tex], o [tex]x_2=x_4=x_6=\ldots=x_{100}=0[/tex], tai [tex]S=\frac{25}{2}[/tex]. 3) Pagal sąlygą [tex]x_i+x_{i+1}+x_{i+2}\leq1[/tex] ir [tex]x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}\leq 1[/tex]. Pažymėkim [tex]m = \max(x_i \ ;\ x_{i+3})[/tex]. Tada [tex]x_ix_{i+2}+x_{i+1}x_{i+3} \leq m(x_{i+1}+x_{i+2})\leq m(1-m)=-(m-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4} \leq \frac{1}{4}[/tex]. (Įrodėm tikslesnę nelygybę). Ir galiausiai [tex]S=\sum^{100}_{i=1}x_ix_{i+2}=(x_1x_3+x_2x_4)+(x_3x_5+x_4x_6)+\ldots+(x_{99}x_{101}+x_{100}x_{102})\leq 50\cdot\frac{1}{4}=\frac{25}{2}[/tex]