Geometrijos progresijos narių radimas

Pirmų trijų geometrinės progresijos narių suma yra septynis kartus didesnė už pirmąjį sekos narį, o pirmų keturių narių suma yra 45. Koks pirmas sekos narys?

[tex]S_{3}=\frac{b_{1}(1-q^{3})}{1-q}=7b_{1}[/tex]
[tex]\frac{b_{1}(1-q^{3})}{1-q}=\frac{b_{1}(1-q)(1+q+q^{2})}{1-q}=b_{1}(1+q+q^{2})[/tex]
[tex]b_{1}(1+q+q^{2})=7b_{1};[/tex] [tex]q\neq 1[/tex]

[tex]S_{4}=\frac{b_{1}(1-q^{4})}{1-q}=45[/tex]
[tex]\frac{b_{1}(1-q^{4})}{1-q}=\frac{b_{1}(1-q)(1+q)(1+q^{2})}{1-q}=b1(1+q)(1+q^{2})[/tex]
[tex]S_{4}=b_{1}(1+q)(1+q^{2})=45;[/tex] [tex]q\neq 1[/tex]

[tex]S_{4}-S_{3}=b_{1}(1+q)(1+q^{2})-b_{1}(1+q+q^{2})=45-7b_{1}[/tex]
[tex]b_{1}q^{3}=45-7b_{1}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]b_{1}=\frac{45}{q^{3}+7}[/tex]

[tex]\frac{45}{q^{3}+7}(1+q+q^{2})=7(\frac{45}{q^{3}+7})[/tex]
[tex]q^{2}+q-6=0[/tex]
[tex]q_{1}q_{2}=-1[/tex]
[tex]q_{1}+q_{2}=-6[/tex]
[tex]q_{1}=-3;[/tex] [tex]q_{2}=2[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]q=2;[/tex] [tex]q≠\sqrt[3]{45}[/tex]

[tex]b_{1}(1+2)(1+2^{2})=45[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]b_{1}=3[/tex]
[tex]Atsakymas:b_{1}=3[/tex]

Galima daryti ir ignoruojant formule:

[tex]a+ab+ab^{2}=7a[/tex], tai [tex]1+b+b^{2}=7[/tex], gaunasi kad [tex]b=2[/tex] arba [tex]b=-3[/tex](netinka), [tex]a+ab+ab^{2}+ab^{3}=45[/tex], isistacius gaunasi [tex]a=3[/tex]

Kodėl netinka q= -3 ir b=-2,25? Manau, kad tinka. b(1+q+q²)=7b, b(1+q+q²+q³)=45. Abi lygtis tenkina.

Kadangi tada gaunasi, kad 3 pirmu nariu suma -15.75, o tai yra 7 kartus maziau uz -2.25, o ne daugiau.

Ačiū. Supratau.