Geometrinės progresijos vardiklio skaičiavimas

1) Skaičiai  a+x/y,  a+x/2y,  a+x/3y  yra trys  iš eilės  einantys geometrinės progresijos  nariai  (a∈R  x>0  y>0 )  Apskaičiuokite  šios  geometrinės progresijos  vardiklį.

Ats: 1/3

Pažymėkime: [tex]\frac{x}{y}=t[/tex], tada:
[tex]q=\dfrac{a+\frac{1}{2}t}{a+t}=\dfrac{a+\frac{1}{3}t}{a+\frac{1}{2}t}\implies \left(a+\frac{1}{2}t\right)^2=(a+t)(a+\frac{1}{3}t)\implies \\a^2+at+\frac{1}{4}t^2=a^2+\frac{4}{3}at+\frac{1}{3}t^2\implies at+\frac{1}{4}t^2=\frac{4}{3}at+\frac{1}{3}t^2\implies a=-\frac{t}{4}[/tex]
Kai [tex]a=-\frac{t}{4}[/tex], tai:
[tex]q=\dfrac{-\frac{t}{4}+\frac{1}{2}t}{-\frac{t}{4}+t}=\dfrac{-t+2t}{-t+4t}=\dfrac{t}{3t}=\dfrac{1}{3}.[/tex]

Galima pritaikyti ir sita:
Jeigu [tex]\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}[/tex], tai [tex]\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}[/tex]

Tai, [tex]q=\dfrac{a+\frac{1}{2}t}{a+t}=\dfrac{a+\frac{1}{3}t}{a+\frac{1}{2}t}=\dfrac{a+\frac{1}{2}t-a-\frac{1}{3}t}{a+t-a-\frac{1}{2}t}=\dfrac{\frac{1}{6}t}{\frac{1}{2}t}=\dfrac{1}{3}[/tex]