ematematikas Registruotis Ieškoti

Įbrėžto į trikampį ploto apskaičiavimas

Geometrija   Peržiūrų skaičius (105)

1)Duota:  Trikampio ABC plotas  24 Taškas D∈AB, taškas E∈BC, taškas F∈AC    Apskaičiuokite  trikampio DEF plotą kai žinoma  AD/DB=1/2,  BE/EC=2/3,  CF/AF=3/4. Panašų uždavinį galima sudaryti su  stačiakampiu, lygiagretainiu tik reikėtų 4 taškų. 2)Duota ΔABC plotas 24 Taškai E,F ∈AB AE=EF=FB  Taškas G∈CB  ir CG=GB Apskaičiuokite trikampio EFG plotą

Paskutinį kartą atnaujinta 2020-08-14

0

Dėl 2 uždavinio: 1)Parodykite ,kad trikampio ABG plotas lygus 12 (2 taškai) ,2) Apskaičiuokite trikampio EFG plotą(1 taškas)

0

1) Panagrinėkime trikampius DBE ir ABC. Galime užrašyti, kad:
[tex]S_{ΔBDE}=\dfrac{1}{2}\cdot DB\cdot BE\cdot \sin∠B[/tex]
[tex]S_{ΔABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin∠B[/tex]
Tada iš šių lygybių galima užrašyti, kad:
[tex]\dfrac{S_{ΔBDE}}{S_{ΔABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot DB\cdot BE\cdot \sin∠B}{\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin∠B}=\dfrac{DB\cdot BE}{AB\cdot BC}=\dfrac{BD}{BA}\cdot\dfrac{BE}{BC}.[/tex]
Tada analogiškai galima užrašyti, kad:
[tex]\dfrac{S_{ΔADF}}{S_{ΔABC}}=\dfrac{AD}{AB}\cdot \dfrac{AF}{AC},\space \dfrac{S_{ΔCEF}}{S_{ΔABC}}=\dfrac{CE}{CB}\cdot \dfrac{CF}{CA}.[/tex]
Kai žinome, kad: AD/DB=1/2,  BE/EC=2/3,  CF/AF=3/4, tai galime pažymėti:
[tex]AD=x,\space DB=2x,\space BE=2y,\space EC=3y,\space CF=3z,\space AF=4z.[/tex]
Tada:
[tex]\dfrac{S_{ΔBDE}}{S_{ΔABC}}+\dfrac{S_{ΔADF}}{S_{ΔABC}}+\dfrac{S_{ΔCEF}}{S_{ΔABC}}=\dfrac{2x}{3x}\cdot\dfrac{2y}{5y}+\dfrac{x}{3x}\cdot\dfrac{4z}{7z}+\dfrac{3y}{5y}\cdot\dfrac{3z}{7z}=\dfrac{4}{15}+\dfrac{4}{21}+\dfrac{9}{35}=\dfrac{5}{7}\implies\\\dfrac{S_{ΔBDE}+S_{ΔADF}+S_{ΔCEF}}{S_{ΔABC}}=\dfrac{5}{7}\implies \dfrac{S_{ΔDEF}}{S_{ΔABC}}=\dfrac{2}{7}\implies S_{ΔDEF}=\dfrac{2}{7}\cdot S_{ΔABC}=\dfrac{2}{7}\cdot24=\\=6 \dfrac{6}{7}.[/tex]

2) AG - trikampio ABC pusiaukraštinė, nes BG=CG. Žinome, jog tada ši pusiaukraštinė padalija trikampį į du lygiapločius trikampius (jei reikalingas įrodymas, tai išvedame statmenį iš viršūnės A į BC, tada šis statmuo bus tiek ABC, tiek ABG aukštinė. Per šią aukštinę užrašome abiejų trikampių plotus. Kadangi trikampio ABG kraštinė į kurią nuleista ši aukštinė yra dukart trumpesnė, tai ir plotas dukart mažesnis už trikampio ABC plotą). Taigi: [tex]S_{ΔABG}=24:2=12.[/tex]
Panašiu pricipu įsirodoma, jog trikampio EFG plotas triskart mažesnis už ABG plotą, kadangi trikampio EFG kraštinė, į kurią neleista bendra šių trikampių aukštinė, yra triskart trumpesnė (AE=EF=FB) už trikampio ABG kraštinę. Taigi: [tex]S_{ΔEFG}=12:3=4.[/tex]

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!