ematematikas Registruotis Ieškoti

Įdomu: Gripo epidemija ir skaičiaus e grožis

Tikimybių teorija   Peržiūrų skaičius (1252)

Daugelyje šalies regionų yra paskelbta gripo epidemija.
Gripo epidemija skelbiama, kai dešimčiai tūkstančių gyventojų tenka šimtas susirgusiųjų gripu.
Tarkime, kad regione toks santykis yra pasiektas.
AR TAI REIŠKIA, JOG ŠIMTO ŽMONIŲ GRUPĖJE BUS VIENAS SUSIRGĘS GRIPU?
Aišku, jog ne!
Tai reiškia, jog tikimybė ( įvertinta pagal statistinį modelį), kad atsitiktinis šio regiono gyventojas susirgs gripu, lygi 1/ 100, t.y. 0,01.
Kuo čia dėtas skaičius e ?
Be įrodymo ( jį puikiai atliks mokantys Puasono formulę) pateiksiu kai kuriuos įdomius faktus.
1.  Kas yra skaičius e = 2, 71828...?
Viena iš pateikčių yra tokia: Skaičius e yra nepabaigiamosios sumos reikšmė ( matematiškai- eilutės suma);
e = 2 + 1/2! +1/3!+ 1/4! + 1/5! +...
Sąsajų su gripo epidemija išvysime tada, kai abi pastarosios lygybės puses padalinsime iš e.
1 = 1/e + 1/e + 1/2!e + 1/3!e + 1/4!e +...
Šios sumos k-sis narys ( numeravimas prasideda nuo 0, t.y. k=0, 1, 2, 3...) apytiksliai lygus tikimybei, kad ŠIMTO ŽMONIŲ GRUPĖJE BUS k SUSIRGUSIŲJŲ GRIPU.
Pavyzdžiui, tikimybė, jog 100 žmonių grupėje neserga niekas, lygi
P(0) = 1/e.
Tokia pati tikimybė, kad serga tik vienas to šimtuko dalyvis:
P(1) = 1/e.
Tikimybė, kad serga du, lygi 1/2!e = 1/2e.
Tikimybė, kad serga trys, lygi 1/3!e = 1/6e.  Ir t.t.
Aišku, aktualūs tik pirmieji 101 nariai ( k=0, 1, 2, ...100). Kitus narius tenka atmesti, bet Puasono modelio paklaida nurašys mums tą atmetimą.
P.S.  Vis dėlto pateiksiu Puasono formulę, "visa tai kildinusią":
Jei vyksta n bandymų, ir kiekviename bandyme įvykis S įvyksta su ta pačia, artima nuliui, tikimybe p, tai tikimybė, jog atlikus šiuos n bandymus, įvykis S įvyks tik k kartų, lygi:
p(k) = ( e^(-a)) (a^k) / k!, kur a=np.
Čia aprašytame gripo epidemijos modelyje su šimtu žmoniu
p=0,01, n=100, a=1, todėl p(k) = (e^(-1))/ k! = 1/k!e.

1

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!