Įdomus uždavinys su taisyklingojo daugiakampio viršūnių spinduliais-vektoriais

[tex]A_{1}A_{2}...A_{n}[/tex] - taisyklingasis n-kampis, taškas O-jo apibrėžtinio apskritimo  centras, M-bet koks šio apskritimo taškas, R-šio apskritimo spindulys.
Įrodykite, kad vektorių [tex]OM[/tex] ir [tex]OA_{k}[/tex] skaliarinių sandaugų kvadratų suma
[tex]\sum_{k=1}^{n}(OM\cdot OA_{k})^{2}=\frac{1}{2}nR^{4}[/tex]

Sveiki, gal galėtumete paskelbti šio uždavinio sprendimą?

PRADŽIA.
Nagrinėsime taisyklingąjį n-kampį kompleksinėje plokštumoje.
n-ojo laipsnio šaknis iš vieneto
[tex]\sqrt[n]{1}=p^{k}[/tex].
k=0, 1, 2, ..., n-1.
Čia p=[tex]cos(\frac{2\pi }{n})[/tex]+i[tex]sin(\frac{2\pi }{n})[/tex]
Taisykingojo n-kampio viršūnės [tex]A_{0}(R),A_{1}(Rp),A_{2}(Rp^{2}),...A_{n-1}(Rp^{n-1})[/tex]
Nagrinėsime spindulius vektorius OM ir OA(su indeksu k)
P.S. Norėjau pateikti sprendimą. Matematinį tekstą su ta programa renku ilgai. Nepratęs. Tačiau< man priėjus iki šios vietos, staiga pradėjo neveikti ta programa ("įkelti formulę").
Todėl sprendimo tęsinį atidedu neribotam laikui. Man šios technologijos per sunkios.

TĘSINYS(1)
Taško M kompleksinė koordinatė M(Rw).
Spindulių-vektorių kompleksinės koordinatės
[tex]OA_{k}=(Rp^{k})[/tex]
.
[tex]OM=(Rw)[/tex]
Jei dviejų vektorių kompleksinės koordinatės yra a ir b (vienas vektorius turi vieną kompleksinę koordinatę a=x+iy), tai šių vektorių skaliarinė sandauga lygi[tex]\frac{1}{2}(ab^{^{*}}+a^{*}b)[/tex]

Čia kompleksiškai jungtinis skaičius [tex]a^{*}=x -iy[/tex]
Todėl spindulių -vektorių skaliarinė sandauga
[tex]OM\cdot OA_{k}=\frac{R^{2}}{2}(wp^{*^{k}}+w^{*}p^{k})[/tex]

[tex](OM\cdot OA_{k})^{2}=\frac{R^{4}}{4}(w^{2}p^{*2k}+2+w^{*2}p^{2k})[/tex],
nes [tex]pp^{*}=ww^{*}=1[/tex]
Susumavę nuo k=0 iki k=n-1, ir atsižvelgę į tai, jog
[tex]\sum p^{2k}=\frac{p^{2n}-1}{p^{2}-1}=0[/tex]
gauname, jog skaliarinių sandaugų kvadratų suma lygi
[tex]\frac{R^{4}}{4}2n=\frac{nR^{4}}{2}[/tex]
Įrodyta