Sveiki, gal kas gali padėt išspręst šį integralą?
[tex]\int x \sqrt{x^{2}-2x+2}dx[/tex]
mathfux (+288)
Bendru atveju sprendimo metodai sudėtingi.
Tačiau galime pasinaudoti tuo, kad integralą galima išreikšti dviejų skirtingais metodais integruojamų integralų suma:
$\displaystyle \int x\sqrt{x^2-2x+2}\mathrm{d}x=\displaystyle \int (x-1)\sqrt{x^2-2x+2}\mathrm{d}x+\displaystyle \int \sqrt{x^2-2x+2}\mathrm{d}x$
Integruojame kiekvieną iš jų:
$\displaystyle \int (x-1)\sqrt{x^2-2x+2}\mathrm{d}x=\left\{\begin{array}{l}t=x^2-2x+2\\ \mathrm{d}t=2(x-1)\\ \frac{\mathrm{d}t}{2}=(x-1)\mathrm{d}x \end{array}\right\}=\int \frac{\sqrt{t}}{2}\mathrm{d}t=\frac{t\sqrt{t}}{3}+C$, kur $t=\sqrt{x^2-2x+2}$
$\displaystyle \int \sqrt{x^2-2x+2}\mathrm{d}x=\int \sqrt{(x-1)^2+1}\mathrm{d}x=\frac{x-1+\ln((x-1)^2+1)}{2}+C=$
$\displaystyle\frac{x-1+\ln(x^2-2x+2)}{2}+C$ pagal integralo $\displaystyle \sqrt{x^2+a^2}\mathrm{d}x$ formulę, pateiktą čia