Intervalai integruojant apibrėžtinį integralą

Sveiki, susidūriau su keleta sunkumų integruojant. Galbūt galėsite padėti.
1. Turime: [tex]\int_{0}^{2\pi }\frac{1}{(2+cos(x))(3+cos(x))}dx[/tex]
Suintegravęs gaunu: [tex]\frac{2\sqrt{3}}{3}arctg(\frac{tg\frac{x}{2}}{\sqrt{3}}) - \frac{\sqrt{2}}{2}arctg(\frac{tg(\frac{x}{2})}{\sqrt{2}})[/tex]

Dabar nežinau į kokius intervalus skaidyt integralą įsistatinėjant reikšmes ir kaip juos surasti.

2. Turime: [tex]\int_{0}^{\pi }\frac{xsin(x)}{1 + cos^{2}(x)}[/tex]

Integruojant gaunu kompleksines reikšmes (?). Koks yra paprastas būdas išspręsti šitą integralą?
Ačiū iš anksto

1. Skaidyk į intervalus: [tex]\int_0^{\pi} [/tex] ir [tex]\int_{\pi}^{2\pi}[/tex]. Šie integralai bus netiesioginiai, todėl turėsime juos  paskaičiuoti taikydami ribą (tiesa prieš skaičiuojant antrą integralą galima įsitikinti, jog jis bus tokios pat reikšmės kaip ir pirmasis, nes funkcijos grafikas simetriškas tiesės [tex]x=\pi[/tex] atžvilgiu). Atsakymas: [tex]\dfrac{4\sqrt3-3\sqrt2}{6}\pi[/tex]

2. [tex]\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin{(x)}}{1+\cos^2{(x)}}dx  = -x\;arctg(\cos(x))|^{\pi}_{0} + \int_{0}^{\pi}arctg(\cos(x))dx\;\;(*)[/tex]

[tex]\int_{0}^{\pi}arctg(\cos(x))dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}arctg(\sin(x))dx
=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}arctg(\sin(x))dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}arctg(\sin(x))dx =[/tex]
[tex]-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}arctg(\sin(x))dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}arctg(\sin(x))dx = 0[/tex]

[tex](*) = \frac{\pi^2}{4}[/tex]

Įdomiausia, jog aš lygiai taip pat sprendžiau antrąjį tik kažkodėl pastrigau ties integralu [tex]\int_0^\pi\arctan(\cos x)[/tex]. Lemon' ui paaiškinsiu plačiau, kas čia buvo daroma, nes praleista paminėti, jog buvo taikytas integravimas dalimis (aišku galima tai mėgint įtarti pagal tai kas parašyta po lygybės). Čia: $$u=x,\space dv=\dfrac{\sin x}{1+\cos^2x}$$ Tai, kad: [tex]\int_0^\pi\arctan(\cos x)=0[/tex] galima buvo šįkart įrodyti, įsitikinant, kad funkcijos [tex]y=\arctan(\cos x)[/tex] grafikas yra simetriškas taško [tex](\frac{\pi}{2};0)[/tex] atžvilgiu.
Kadangi prieš tai savo parašytame komentare taip pat minėjau panašią situaciją pateiksiu abu įrodymus:
[tex]\bullet[/tex] Jei funkcijos [tex]f(x)=\dfrac{1}{(2+\cos x)(3+\cos x)}[/tex] grafikas yra simetriškas tiesės [tex]x=\pi[/tex] atžvilgiu, tai su visais [tex]x[/tex] iš apibrėžimo srities turi būti teisinga lygybė [tex]f(\pi-x)=f(\pi+x)[/tex]:$$f(\pi-x)=\dfrac{1}{(2+\cos (\pi-x))(3+\cos (\pi-x))}$$ Taikome redukciją ir gauname:$$f(\pi-x)=\dfrac{1}{(2-\cos x)(3-\cos x)}$$ Tada:$$f(\pi+x)=\dfrac{1}{(2+\cos (\pi+x))(3+\cos (\pi+x))}$$ Taikome redukciją ir gauname:$$f(\pi+x)=\dfrac{1}{(2-\cos x)(3-\cos x)}$$ Taigi:$$f(\pi-x)=f(\pi+x)$$ [tex]\bullet[/tex] Jei funkcijos [tex]f(x)=\arctan(\cos x)[/tex] grafikas yra simetriškas taško [tex](\frac{\pi}{2};0)[/tex] atžvilgiu, tai su visais [tex]x[/tex] iš apibrėžimo srities turi būti teisinga lygybė [tex]f(\frac{\pi}{2}-x)=-f(\frac{\pi}{2}+x)[/tex]:$$f\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\arctan\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\right)$$ Taikome redukciją ir gauname:$$f\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\arctan\left(\sin x\right)$$ Tada:$$f\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\arctan\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\right)$$ Taikome redukciją ir gauname:$$f\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\arctan\left(-\sin x\right)=-\arctan\left(\sin x\right)$$ Taigi: $$f\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=-f\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)$$

lelius, nežinau kaip priėjai lygybės: $$\int_0^\pi\arctan(\cos x)dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\arctan(\sin x)dx$$ bet teisingumo dėlei turėtų būti:$$\int_0^\pi\arctan(\cos x)dx=-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\arctan(\sin x)dx$$ Aišku galutiniam atsakymui tai įtakos šiuo atveju neturėjo. Aš šią lygybę įrodžiau taikydamas keitinį [tex]t=x-\frac{\pi}{2}[/tex].

Mano keitinys buvo [tex]t=\frac{\pi}{2}-x[/tex].
Panašu, kad naudojant tavo ir mano keitinius, galime įrodyti  (tiesiog sulygine gautus integralus), kad integralas lygus 0.

aaa... supratau. Išties, tada gautume dar vieną įrodymą :)
Reiškia teisingos abi lygybės.

Tomas, suprantu, kad funkcijos grafikas simetriškas tiesės [tex]x = \pi[/tex] atžvilgiu. Tačiau nesuprantu, kaip paskaičiuot netiesioginį integralą, taikant ribas.
Reikia taikyti: [tex]\lim_{c \to b - 0}\int_{a}^{c}f(x)dx[/tex] ?
Čia reikštų, kad riba yra funkcijos f netiesioginis integralas intervale [a,b) ?

Gal pamokytumėt?

Esmė tame, jog šiuo atveju pointegralinė funkcija neturi trūkio taškų, bet jos pirmykštė turi pirmos rūšies trūkio tašką [tex]x=\pi[/tex]. Todėl:
$$\int\limits_{0}^{\pi}\dfrac{1}{(2+\cos x)(3+\cos x)}dx=\lim_{\epsilon\to 0}\left(\frac{2\sqrt 3}{3}\arctan \left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt 3}\right)-\frac{\sqrt 2}{2}\arctan \left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt 2}\right)\right)\bigg|^{\pi-\epsilon}_{0}
$$ Toliau statomės rėžius kaip įprasta ir gauname:$$\int\limits_{0}^{\pi}\dfrac{1}{(2+\cos x)(3+\cos x)}dx=\lim_{\epsilon\to 0}\left(\frac{2\sqrt 3}{3}\arctan \left(\frac{\tan \frac{\pi-\epsilon}{2}}{\sqrt 3}\right)-\frac{\sqrt 2}{2}\arctan \left(\frac{\tan \frac{\pi-\epsilon}{2}}{\sqrt 2}\right)-0\right)=\\\frac{2\sqrt 3}{3}\lim_{\epsilon\to 0}\arctan \left(\frac{\tan \frac{\pi-\epsilon}{2}}{\sqrt 3}\right)-\frac{\sqrt 2}{2}\lim_{\epsilon\to 0}\arctan \left(\frac{\tan \frac{\pi-\epsilon}{2}}{\sqrt 2}\right)
$$ Dabar turime, kad:
Kai [tex]\epsilon\to 0^+[/tex], tai: [tex]\frac{\pi-\epsilon}{2}\to \frac{\pi}{2}^-[/tex]. Kai [tex]\frac{\pi-\epsilon}{2}\to \frac{\pi}{2}^-[/tex], tai [tex]\tan\frac{\pi-\epsilon}{2}\to+\infty [/tex] ir [tex]\frac{\tan\frac{\pi-\epsilon}{2}}{\sqrt 3}\to+\infty [/tex]. Kai [tex]\frac{\tan\frac{\pi-\epsilon}{2}}{\sqrt 3}\to+\infty [/tex], tai: [tex]\arctan \frac{\tan\frac{\pi-\epsilon}{2}}{\sqrt 3}\to \frac{\pi}{2}[/tex].
Panašiai gauname, kad:[tex]\arctan \frac{\tan\frac{\pi-\epsilon}{3}}{\sqrt 3}\to \frac{\pi}{2}[/tex]

Ačiū labai abiems jums, supratau :)