Įrodimo uždavinys (smailiojo trikampio aukštinės)

Trikampis ABC yra smailusis, AA1, BB1 ir CC1- jo aukštinės, O - aukštinių susikirtimo taškas. Įrodykite, kad AO×OA1=BO×OB1=CO×OC1.


Gal kas galit padėti?

[tex]\triangle AOB_1\sim\triangle BOA_1[/tex], nes [tex]\angle AOB_1=\angle BOA_1[/tex] ir [tex]\angle OB_1A=\angle BA_1O[/tex]. Todėl [tex]\frac{AO}{BO}=\frac{B_1O}{A_1O}\Rightarrow AO\cdot A_1O=BO\cdot B_1O[/tex].
[tex]\triangle AOC_1\sim\triangle COA_1[/tex], nes [tex]\angle AOC_1=\angle COA_1[/tex] ir [tex]\angle OC_1A=\angle CA_1O[/tex]. Todėl [tex]\frac{AO}{CO}=\frac{C_1O}{A_1O}\Rightarrow AO\cdot A_1O=CO\cdot C_1O[/tex].
Taigi [tex]AO\cdot A_1O=BO\cdot B_1O=CO\cdot C_1O[/tex]