Įrodykite, kad trigonometrinė nelygybė yra teisinga

Kai [tex]n\in \mathbb{N}^{\ast }[/tex] įrodykite, kad nelygybė yra teisinga:
[tex]\sin 1+\sin2+...+\sin n<2[/tex]

Pažymėsime
S(n)= sin1 + sin2 + ...+sinn.
Abi pastarosios lygybės puses dauginame iš 2sin(1/2).
Gauname
2S(n)sin(1/2)= 2sin1sin(1/2) + 2sin2sin(1/2) + ...+ 2sinn*sin(1/2).
Kiekvienam dešiniosios pusės nariui taikome formulę
2sina*sinb= cos(a-b) - cos(a+b).
Gauname
2S(n)sin(1/2)= cos(1/2) - cos(3/2)+cos(3/2)- cos(5/2)+...+cos(n-1/2)- cos(n + 1/2)
T.y
2S(n)sin(1/2) = cos(1/2) - cos(n + 1/2).
Kadangi cos(n + 1/2) > cos(1/2) - 4sin(1/2) (nes dešinė pusė mažesnė už (-1) ), tai
2S(n)sin(1/2)< cos(1/2) - cos(1/2) + 4sin(1/2).
2S(n)sin(1/2) < 4sin(1/2)
S(n) <2.  Įrodyta.

Gražus sprendimas :)