Vytaras (+35)
Forumas
Irodyti, kad reiskinys dalinasi be liekanos
DEMO +1000
[tex]2^{5n+3}+5^n\cdot3^{n+2}=8\cdot32^n+9\cdot15^n\equiv 8\cdot15^n-8\cdot15^n\equiv 0 (\bmod 17)[/tex].
Dar galima įrodyt su indukcija.
Vytaras (+35)
Dekui, gal dar su indukcija galetum parodyt? :)
DEMO +1000
Kai [tex]n=1[/tex], reiškinys dalijasi iš [tex]17[/tex].
Sakykim, reiškinys dalijasi iš [tex]17[/tex], kai [tex]n=k[/tex]:
[tex]A_k=2^{5k+3}+5^k\cdot3^{k+2}[/tex]
Parodysim, kad reiškinys dalijasi iš [tex]17[/tex], kai [tex]n=k+1[/tex]:
[tex]A_{k+1}=2^{5(k+1)+3}+5^{k+1}\cdot3^{k+3}=32(2^{5k+3}+5^k\cdot3^{k+2})-32\cdot5^k\cdot3^{k+2}+15\cdot5^k\cdot3^{k+2}=32A_k+17\cdot5^k\cdot3^{k+2}[/tex]
[tex]A_k[/tex] dalijasi iš [tex]17[/tex] pagal indukcijos prielaidą, todėl ir [tex]32A_k+17\cdot5^k\cdot3^{k+2}[/tex] dalijasi iš [tex]17[/tex].
Todėl [tex]2^{5n+3}+5^n\cdot3^{n+2}[/tex] dalijasi iš [tex]17[/tex] su visais [tex]n\in\mathbb{N}[/tex].
pakeista prieš 13 m
variable (+2151)
lukasm[tex]2^{5n+3}+5^n\cdot3^{n+2}=8\cdot32^n+9\cdot15^n\equiv 8\cdot15^n-8\cdot15^n\equiv 0 (\bmod 17).[/tex].
Dar galima įrodyt su indukcija.
galima plačiau kaip čia išėjo ? [tex]8\cdot32^n+9\cdot15^n\equiv 8\cdot15^n-8\cdot15^n[/tex]
ir ką reiškia ta triguba lygybė ?
DEMO +1000
variablelukasm[tex]2^{5n+3}+5^n\cdot3^{n+2}=8\cdot32^n+9\cdot15^n\equiv 8\cdot15^n-8\cdot15^n\equiv 0 (\bmod 17).[/tex].
Dar galima įrodyt su indukcija.
galima plačiau kaip čia išėjo ? [tex]8\cdot32^n+9\cdot15^n\equiv 8\cdot15^n-8\cdot15^n[/tex]
ir ką reiškia ta triguba lygybė ?
Užrašas [tex]a\equiv b (\bmod c)[/tex] (vadinama lyginiu, skaitoma „ [tex]a[/tex] lygsta [tex] b[/tex] moduliu [tex]c[/tex]") reiškia, kad [tex]c|a-b[/tex], arba kitaip tariant, [tex]b[/tex] yra skaičiaus [tex]a[/tex] dalybos iš [tex]c[/tex] liekana. Taip pat iš to išeina, kad abu skaičiai [tex]a[/tex] ir [tex]b[/tex] dalijami iš [tex]c[/tex] duoda tokią pačią liekaną.
Visų lyginių sąvybių nepasakosiu, tik trumpai paaiškinsiu sprendimą:
[tex]2^{5n+3}=8\cdot32^n[/tex]. Kadangi [tex]32\equiv15(\bmod 17)[/tex], tai [tex]8\cdot32^n\equiv8\cdot15^n (\bmod 17)[/tex].
[tex]5^n\cdot3^{n+2}=9\cdot15^n[/tex]. Kadangi [tex]9\equiv -8 (\bmod 17)[/tex], tai [tex]9\cdot15^n\equiv-8\cdot15^n (\bmod 17)[/tex].
Galiausiai gaunam [tex]2^{5n+3}+5^n\cdot3^{n+2}\equiv 8\cdot15^n - 8\cdot15^n\equiv0(\bmod 17)[/tex], o tai ir reiškia, kad [tex]2^{5n+3}+5^n\cdot3^{n+2}[/tex] dalijasi iš [tex]17[/tex] be liekanos.
Jei nori, apie lyginius trumpai gali pasiskaityti 2008 - 2010 metų LJMM 4 užduotyje, olimpiadinėje „Matematikos knygoje“, apie lyginius rastum daugumoj skaičių teorijos vadovėlių. Bet tai neįeina į mokyklinę programą...
pakeista prieš 13 m
variable (+2151)
dėkui Lukai, bus ką prieš miegą paanalizuoti.
Puslapis1
Nori sudalyvauti šioje temoje ir parašyti savo pranešimą? Prisijungti »