Įrodyti

Įrodyti, kad trupmena [tex]\frac{n^3+2n}{n^2+1}[/tex], kai [tex]n\in Z[/tex], [tex]n\neq0[/tex], yra nesuprastinama.
Z- Sveikųjų skaičių aibė.

Jei ši trupmena būtų suprastinama, tai būtų toks pirminis skaičius p (nepamirškime, kad 1 nėra pirminis skaičius), kuris dalintų ir skaitiklį n³ + 2n, ir vardiklį n² + 1. Bet n³ + 2n = n(n² + 2), o p pirminis, todėl p|n arba p|n² + 2 (a|b reiškia b dalinasi iš a be liekanos).

Jei p|n, tai p|n² ir todėl p|n² + 1 - n² = 1, ko būti negali.

Jei p|n² + 2, tai p|n² + 2 - (n² + 1) = 1, ko būti negali.