Išreiškimas

Turiu čia tokį kėblų uždavinųką:

Yra vektorių seka x0, x1, x2, x3...

[img=pav]http://img44.imageshack.us/img44/5346/matematika.gif[/img]

n = 0, 1, 2, ...

Užduotis: parodyti, kad x0 gali būti parašytas matricos A tikrinių vektorių tiesine kombinacija ir surasti x{n} bet kokiam n

Kas pasakyta apie A?

Visai pražiopsojau. A - matrica

A = (1 2)
      (2 1)

Randame A tikrines vertes:

charakterinis daugianaris
(p - 1)^2 - 4 = 0
p^2 - 2p - 3 = 0
(p - 3)(p + 1) = 0,
taigi tikrinės vertės yra 3 ir -1.

Raskime tikrinius vektorius.
1) p = -1:
Av = -v
v = (-1, 1) (stulpelinis vektorius);
2) p = 3:
Av = 3v
v = (1, 1) (stulpelinis vektorius).

Matome, kad (1, 2) = 1/2 (-1, 1) + 3/2 (1, 1), - štai ta tiesinė kombinacija.

Iš tikro vien to, kad A yra reali simetriška NxN matrica, užtenka, kad jos tikrinių vektorių tiesinės kombinacijos sudarytų visus N-mačius realius vektorius, - nereikėjo net skaičiavimų atlikti. Tačiau žinodami tikrinius vektorius galime lengvai užrašyti A įstrižaine forma:

/1 2\ = 1/2 /1 -1\ /3  0\ /1  1\
\2 1/          \1  1/ \0 -1/ \-1 1/.

Taigi galime užrašyti A = PLQ, kur
L = /3  0\    P = 1/√2  /1 -1\    Q = 1/√2 /1  1\
      \0 -1/                  \1  1/                  \-1 1/

Kadangi QP = I (I - 2x2 vienetinė matrica), turime
A^n = (PLQ)(PLQ)...(PLQ) (n kartų) = PL(QP)L(QP)...(QP)LQ = P(L^n)Q, o

L^n = /3^n    0    \
          \  0  (-1)^n/

TaigiA^n = P(L^n)Q

= 1/2 /1 -1\ /3^n    0    \ /1  1\
        \1  1/ \  0    (-1)^n/\-1 1/

= 1/2 / 3^n + (-1)^n      3^n - (-1)^n  \
        \ 3^n - (-1)^n      3^n + (-1)^n /

Dabar matome, kad x_n = A x_(n-1) = A^2 x_(n-2) = ... = A^n x_0

= 1/2 ( 3^(n+1) - (-1)^n, 3^(n+1) + (-1)^n ).


Čia taip spręst šitą uždavinį matricomis reiktų. Kiek supratau iš sąlygos, tokio sprendimo ir tikimasi. Tačiau galima išspręsti daug greičiau nenaudojant (ar ne tiek daug naudojant) matricų.

Ačiū labai

nu cia tai ziaurus forumas!
gerbiu labai sita foruma uz labai puikius atsakymus ir paaiskinimus!!!!
padejot man suprasti tiesines lygtis tai ateityje ir su algebrom galesiu dometis!
dekui dekui sitam projektui