Išvestinės (mažiausia reikšmė lygi 4, rast a)

Raskite a reikšmę, su kuria funkcijos [tex] f(x) = x + e^{a-x}[/tex] mažiausia reikšmė lygi 4.

Čia f(x) = 4 ?

Radau išvestinę:
[tex]f'(x) = (x + e^{a-x})' = 1 - e^{a-x} [/tex]
Mažiausia reikšmė bus, kai [tex]f'(x) = 0[/tex], tai
[tex] e^{a-x} = 1 [/tex]

Tada įsirašiau, kad f(x) = 4

[tex]f(x) = x + e^{a-x} = 4[/tex]
[tex]e^{a-x} = 4 - a[/tex]

Susidarau lygčių sistemą ir apskaičiuoju:
[tex] 1 = 4 - a [/tex]
[tex] a = 3[/tex]

Nereikia čia jokios sistemos.
Gavai išvestinę:
[tex]1-e^{a-x}[/tex]. Ją prisilyginame 0, ir išsprendžiame x atžvilgiu:
[tex]1-e^{a-x}=0[/tex]
[tex]e^{0}=e^{a-x}[/tex]
[tex]0=a-x[/tex]
[tex]x=a[/tex].
Galime įsitikinti, jog, kai [tex]x=a[/tex] - tai minimumo taškas (kol kas žinome, jog tai tikrai ekstremumo taškas), bet įrodinėjimą praleisiu.
Taigi laikydami, jog, kai [tex]x=a[/tex] funkcija [tex]f(x)[/tex] įgyja minimumą galime užrašyti, kad:
[tex]f(a)=4[/tex], taigi:
[tex]a+e^{a-a}=4[/tex]
[tex]a+1=4[/tex]
[tex]a=3[/tex]