Kaip išvesta matematinės svyruoklės periodo formulė?

T=2π√l/g nelabai suprantu kaip išvesta ši formulė? Kokiom formulėm turėčiau remtis bandydamas tai atkartoti? čia kažkas turbūt susiję su potencine ir kinetine energija mv²/2=mgh ir T=2πx/v (čia v h ir x amplitudės) bet makaulė neišneša čia manau raktas - kažkaip h ir x susijė su l ir reikia kažkaip naudojantis geometrija tai išaiškinti, vėlgi kas būtųtokios svyruoklės amplitudė x? tiesiog atstumas tarp pusiausvyros padėties iki labiausiai nutolusios padėties ar kas mandresnio?

Svyruoklės periodas nelygus tam ką tu parašei.
Pirma, mv²/2≠mgh, bet mv²/2+mgh={Pilnutinė mechaninė energija}.
Jei nori likti dekarto koordinačių sitemoje (ale xy) - tai atsidėk koordinačių pradžios tašką ten kur svyruoklės masė yra jai nejudant. x ašis horizontaliai, y - vertikaliai. Potencinė energija bus lygi mhy, kinetinė:
[tex]\dfrac{1}{2}m \left [ \left (\dfrac{{\rm d} x}{{\rm d} t} \right )^2 + \left (\dfrac{{\rm d} y}{{\rm d} t} \right )^2 \right ] [/tex]
dx/dt - masės koordinatės x išvestinė pagal laiką, t.y. greitis x kryptimi. greičio modulio v kvadratas lygus greičių x ir y kryptimis kvadratų sumai (pitagoro teorema, statusis trikampis).
Jei pradžioje masė pakeliama į aukštį y_0, taip kad siūlas būtų įsitempęs, pilnutinė energija bus lygi mgy_0 ir energijos tvermės dėsnis:
[tex]\dfrac{1}{2}m \left [ \left (\dfrac{{\rm d} x}{{\rm d} t} \right )^2 + \left (\dfrac{{\rm d} y}{{\rm d} t} \right )^2 \right ] + mgy = mgy_0[/tex]
Gali energijos tvermės išraišką perrašyti taip kad liktų tik vienas "kintamasis" - svuruoklės pasisukimo kampas. Svyruoklei pasisukus kampu θ, masės koordinates x ir y gali užrašyti:
[tex]x = l \sin{\theta} [/tex]
[tex]y = l (1 - \cos{\theta}) [/tex]
x ir y išvestinės pagal laiką:
[tex]\dfrac{{\rm d} x}{{\rm d} t} = l \cos{\theta} \dfrac{{\rm d} \theta}{{\rm d} t} [/tex]
[tex]\dfrac{{\rm d} y}{{\rm d} t} = l \sin{\theta} \dfrac{{\rm d} \theta}{{\rm d} t} [/tex]
Tuomet greičio modulio kvadratas šitaip priklausys nuo kampo θ:
[tex] v^2 = l^2 (\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta}) \left ( \dfrac{{\rm d} \theta}{{\rm d} t} \right )^2 = l^2 \left ( \dfrac{{\rm d} \theta}{{\rm d} t} \right ) [/tex]
antroji lygybė seka iš to kad sin²θ + cos²θ = 1, kaip žinia.
Tuomet energijos tvermės išraišką gali perrašyti ana va kaip:
[tex]\dfrac{1}{2} m l^2 \left (\dfrac{{\rm d} \theta}{{\rm d} t} \right )^2 + mgl(1 - \cos{\theta}) = mgl(1 - \cos{\theta_0})[/tex]
Perrašai:
[tex]\left ( \dfrac{{\rm d} \theta}{{\rm d} t} \right )^2 = \dfrac{2g}{l}(\cos{\theta} - \cos{\theta_0})[/tex]
Ištrauki šaknį:
[tex]\dfrac{{\rm d} \theta}{{\rm d} t} = \sqrt{\dfrac{2g}{l}} \sqrt{(\cos{\theta} - \cos{\theta_0})}[/tex]
Perkeli antrąją šaknį ir kairę pusę, o dt į dešinę (taip daryti negalima, bet man...):
[tex]\dfrac{{\rm d} \theta}{\sqrt{(\cos{\theta} - \cos{\theta_0})}} = \sqrt{\dfrac{2g}{l}} {\rm d}t [/tex]
Abi puses suintegruoji per pusę svyravimo. Kampas theta pasikeis nuo Theta_0 iki -Theta_0, laikas nuo 0 iki pusės periodo (T/2), gauni:
[tex]{\displaystyle \int_{\theta_0}^{-\theta_0}}{\dfrac{{\rm d} \theta}{\sqrt{(\cos{\theta} - \cos{\theta_0})}}} = \sqrt{\dfrac{2g}{l}} \dfrac{T}{2}[/tex]
išreiški periodą:
[tex] T = \sqrt{2} \sqrt{\dfrac{l}{g}} {\displaystyle \int_{\theta_0}^{-\theta_0}}{\dfrac{{\rm d} \theta}{\sqrt{(\cos{\theta} - \cos{\theta_0})}}}[/tex]
Tai va, periodas yra lygus tai nesamonei dešinėje lygybės pusėje.
O kaip gauti tai ką tu parašei? padaryk prielaidą kad svyravimo ampltudė (maksimalus Theta) yra nedidelė, tada galėsi užrašyti cos(theta) kaip 1 - Theta²/2. Biški pažaisi ir gausi pointegralinį reiškinį kuris yra ne kas kita kaip arksinuso išvestinė. Suintegruosi ir gausi.
Pažaidimui, kad matytųsi skirtumas tarp supaprastinto atvejo ir tikros švytuoklės pamėginau su javascript kažkokį jovalą išvirt:
https://rawgit.com/housemartin/svytuokle/master/go.html
Dar atnaujinsiu :(

Per menka galva kad suvirškinčiau bet tikrai pamėginsiu, didžiulis dėkui už kančių palengvinimą.

Užsuk pirmadienį, pamėgysiu atnaujint savo pranešimą įvairiom nesamonėm :( gal bus įdomu ;p