Kaip rasti skaiciaus trigonometrine forma?

Kaip rasti skaiciaus trigonometrine forma? Nesuprantu kai reikia transformuoti is tokio keisto pavidalo

sin(z) + i(1 - cos(z))

Reikia rasti tokius realius skaičius r ≥ 0 ir w, kad

r exp(iw) = sin z + i (1 - cos z).

Pakelkime kvadratu:

r² exp(2iw) = sin² z - 1 + 2 cos z - cos² z + 2 i sin z (1 - cos z)
                  = 2 cos z (1 - cos z) + 2 i sin z (1 - cos z)
                  = 2 (1 - cos z) (cos z + i  sin z)
                  = 2 (1 - cos z) exp(iz).

Kadangi |exp(2iw)| = |exp(iz)| = 1, tai r² = |2 (1 - cos z)| = 2 (1 - cos z), nes 1 - cos z ≥ 0. Taigi
r = √(2 (1 - cos z)), nes r ≥ 0. Lieka

exp(2iw) = exp(iz)
2iw = iz (mod 2πi)
w = z/2 (mod 2π) arba iw = z/2 + π (mod 2π).

Esminė dalis atlikta - dabar prasideda detalių surankiojimas (konkrečiai, kurį iš dviejų variantų rinktis; jie abu tiesiog pakeičia skaičiaus teigiamumą ar neigiamumą: šią informaciją praradome keldami kvadratu).

Tarkime, kad 0 ≤ z < 2π. Kadangi r exp(iw) = sin z + i (1 - cos z) ir r ≥ 0, tai mums tinka tas w, su kuriuo exp(iw) realioji dalis turi tą patį ženklą kaip sin z (jei sin z ≠ 0).

Sakykime, kad 0 < z < π. Tuomet sin z > 0, o exp(iz/2) realioji dalis yra cos(z/2) > 0, todėl tinka w = z/2.

Sakykime, kad π < z < 2π. Tuomet sin z < 0, o exp(iz/2) realioji dalis yra cos(z/2) < 0, todėl tinka w = z/2.

Sakykime, kad z = 0. Tuomet sin z + i (1 - cos z) = 0 ir r = √(2 (1 - cos z)) = 0, todėl tinka bet koks realus w. Dėl patogumo pasirinkime w = 0.

Sakykime, kad z = π. Tuomet sin z + i (1 - cos z) = 2i, r = √4 = 2 ir r exp(iπ/2) = 2i, todėl tinka w = π/2.

Trumpai galime užrašyti, kad jei 0 ≤ z < 2π, tai sin z + i (1 - cos z) = √(2 (1 - cos z)) exp(iz/2).

Tegul sveikas skaičius k tenkina 2πk ≤ z < 2π(k + 1). Pasirinkime tokį z', kad 0 ≤ z' < 2π ir z' = z (mod 2π), t.y. z' = z - 2πk. Tuomet

sin z + i (1 - cos z) = sin z' + i (1 - cos z')
                              = √(2 (1 - cos z')) exp(iz'/2)
                              = √(2 (1 - cos z)) exp(iw),

kur w = z/2, jei k lyginis ir w = z/2 + π, jei k nelyginis.


Galbūt ne visas mano naudojamas žymėjimas yra aiškus:

a = b (mod c) reiškia, kad yra toks sveikas skaičius n, kad a - b = nc;
exp(x) = e^x.